概率论与数理统计多维随机变量及其分布1
第三章 多维随机变量及其分布,§ 1 二维随机变量 § 2 边缘分布 § 3 条件分布 § 4 相互独立的随机变量 § 5 两个随机变量的函数的分布,§1 二 维 随 机 变 量,二维随机变量联合分布函数联合分布律联合概率密度,第三章 多维随机变量及其分布,1）定义： 设 E 是一个随机试验，它的样本空间是 S=e， 设 X=X(e) 和 Y=Y(e) 是定义在 S 上的随机变量。 由它们构成的一个向量 (X, Y) ，叫做二维随机 向量，或二维随机变量。,S,e,X(e),Y(e),一、二维随机变量,§1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,注 意 事 项,§1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,2）二维随机变量的例子,§1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,二、联合分布函数,§1 二维随机变量,1）定 义,第三章 多维随机变量及其分布,2）二元分布函数的几何意义,y,o,(x, y),(X, Y ),§1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,3）一个重要的公式,y,x,o,x1,x2,y1,y2,(X, Y ),(x2 , y2),(x2 , y1),(x1 , y2),(x1 , y1),§1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,4）分布函数具有以下的基本性质：,（1）F (x , y )是变量 x , y 的不减函数，即 对于任意固定的 y , 当 x1< x2时，,对于任意固定的 y ,且,§1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,对于任意固定的 x , 当 y1< y2时，,对于任意固定的 x ,（3） F (x , y )=F(x+0,y), F (x , y )=F(x ,y+0), 即 F (x , y )关于 x 右连续，关于 y 也右连续.,y,x,o,x1,x2,y1,y2,(X, Y ),(x2 , y2),(x2 , y1),(x1 , y2),(x1 , y1),§1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,说 明,上述四条性质是二维随机变量分布函数的最基本的 性质，即任何二维随机变量的分布函数都具有这四 条性质； 更进一步地，我们还可以证明：如果某一个二元函数 具有这四条性质，那么，它一定是某一二维随机变 量的分布函数（证明略）,§1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,5）n 维随机变量,§1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,6）n维随机变量的分布函数,§1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,三、二维离散型随机变量,§1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,1）定义：,2）二维离散型随机变量的联合分布律,§1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,3)二维离散型随机变量联合分布律的性质,§1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,例 3,解：,§1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,§1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,§1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,例 4,解：,§1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,§1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,§1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,1）定义： 对于二维随机变量 ( X,Y ) 分布函数 F (x , y )，如 果存在非负函数 f (x , y )，使得对于任意的 x，y有：,则称 ( X,Y ) 是连续型的二维随机变量，函数 f (x , y ) 称为二维随机变量 ( X,Y )的概率密度，或称为 X 和 Y 的联合概率密度。,四、二维连续型随机变量,§1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,2) 概率密度的性质：,40 设 G 是平面上的一个区域，点 ( X,Y )落在 G 内 的概率为：,§1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,这个公式非常重要！,在几何上 z = f (x , y) 表示空间的一个曲面，上式 即表示 P(X,Y)G的值等于以 G 为底，以曲面z = f (x , y)为顶的柱体体积.,§1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,例 5,解：,§1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,第三章 多维随机变量及其分布,§1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,§1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,x+y=1,§1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,3）二维均匀分布,D,x,y,§1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,二维均匀分布几何意义,D,y,x,§1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,4）二维正态分布,§1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,§1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,小结：1 二维离散型随机变量的联合分布率的定义及性质。2 联合分布函数的定义及性质。3 二维连续型随机变量的联合概率密度的定义及性 质，特别是,4 二维均匀分布和二维正态分布。,
