第02讲 角平分线的性质与判定
8页1、4 3 2 1 N M A B O D P P C AB M N 第 02 讲 角平分线的性质与判定 考点方法破译 1角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等. 2角平分线的判定定理:角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 3有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形. 经典考题赏析 【例】如图,已知OD平分AOB,在OA、OB边上截取 OAOB,PMBD,PNAD.求证:PMPN 【解法指导】由于PMBD,PNAD.欲证PMPN只需34,证34, 只需3 和4 所在的OBD与OAD全等即可. 证明:OD平分AOB 12 在OBD与OAD中, OBDOAD12 OBOA ODOD 34 PMBD,PNAD 所以PMPN 【变式题组】 01如图,CP、BP分别平分ABC的外角BCM、CBN.求证:点P在BAC的平分 线上. M N A B D C P E D A B C 2 1 F E D A B C D C AB 02如图,BD平分ABC,ABBC,点P是BD延长线上的一点,PMAD,PNCD.求 证:PMPN 【例】(天津竞赛题)如图,已知四边形ABCD中,
2、AC平分BAD,CEAB于 点E,且AE(ABAD),如果D120,求B的度数 1 2 【解法指导】由已知12,CEAB,联想到可作CFAD于F,得 CECF,AFAE,又由AE(ABAD)得DFEB,于是可证CFDCEB,则 1 2 BCDF60.或者在AE上截取AMAD从而构造全等三角形. 解:过点C作CFAD于点F.AC平分BAD,CEAB,点C是AC上一点, CECF 在RtCFA和RtCEA中, RtACFRtACE AFAE CFCE ACAC 又AE(AEBEAFDF),2AEAEAFBEDF,BEDF 1 2 CFAD,CEAB,FCEB90 在CEB和CFD中,CEBCFD CECF FCEB DFBE BCDF 又ADC120,CDF60,即B60. 【变式题组】 01如图,在ABC中,CD平分ACB,AC5,BC3.求 ACD CBD S S 3 2 1 F E D C A B D E C AB 02(河北竞赛)在四边形ABCD中,已知ABa,ADb.且BCDC,对角线AC平分 BAD,问a与b的大小符合什么条件时,有BD180,请画图并证明 你的结论. 【例】如
3、图,在ABC中,BAC90,ABAC,BE平分ABC,CEBE.求 证:CEBD 1 2 【解法指导】由于BE平分ABC,因而可以考虑过点D作BC的垂线或延长CE 从而构造全等三角形. 证明:延长CE交BA的延长线于F,12,BEBE,BEFBEC BEFBEC(ASA) CEEF,CECF 1 2 1F3F90, 13 在ABD和ACF中,ABDACF 13 ABAC BADCAF BDCF CEBD 1 2 【变式题组】 01如图,已知ACBD,EA、EB分别平分CAB、DBA,CD过点E, 求证:ABACBD. D F E B AC 图 1图 图 D CB A 图 2图 图 D BC A E P 图 3图 图 QS R P B AC 图 4图 图 EF BD A C 图 5图 图 E B C A 02如图,在ABC中,B60,AD、CE分别是BAC、BCA的平分线,AD、CE 相交于点F. 请你判断FE和FD之间的数量关系,并说明理由; 求证:AECDAC. 演练巩固反馈提高 01如图,在RtABC中,C90,BD平分ABC交AC于D,若 CDn,ABm,则ABD的面积是( )
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