第02讲 角平分线的性质与判定

4 3 2 1 N M A B O D P P C AB M N 第 02 讲 角平分线的性质与判定 考点·方法·破译 1角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等. 2角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 3有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形. 经典·考题·赏析 【例】如图，已知OD平分AOB，在OA、OB边上截取 OAOB，PMBD，PNAD.求证：PMPN 【解法指导】由于PMBD，PNAD.欲证PMPN只需34，证34， 只需3 和4 所在的OBD与OAD全等即可. 证明：OD平分AOB 12 在OBD与OAD中， OBDOAD12 OBOA ODOD 34 PMBD，PNAD 所以PMPN 【变式题组】 01如图，CP、BP分别平分ABC的外角BCM、CBN.求证：点P在BAC的平分 线上. M N A B D C P E D A B C 2 1 F E D A B C D C AB 02如图，BD平分ABC，ABBC，点P是BD延长线上的一点，PMAD，PNCD.求 证：PMPN 【例】（天津竞赛题）如图，已知四边形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于 点E，且AE(ABAD)，如果D120°，求B的度数 1 2 【解法指导】由已知12，CEAB，联想到可作CFAD于F，得 CECF，AFAE，又由AE(ABAD)得DFEB，于是可证CFDCEB，则 1 2 BCDF60°.或者在AE上截取AMAD从而构造全等三角形. 解：过点C作CFAD于点F.AC平分BAD，CEAB，点C是AC上一点， CECF 在RtCFA和RtCEA中， RtACFRtACE AFAE CFCE ACAC 又AE(AEBEAFDF)，2AEAEAFBEDF，BEDF 1 2 CFAD，CEAB，FCEB90° 在CEB和CFD中，CEBCFD CECF FCEB DFBE BCDF 又ADC120°，CDF60°，即B60°. 【变式题组】 01如图，在ABC中，CD平分ACB，AC5，BC3.求 ACD CBD S S 3 2 1 F E D C A B D E C AB 02(河北竞赛)在四边形ABCD中，已知ABa，ADb.且BCDC，对角线AC平分 BAD，问a与b的大小符合什么条件时，有BD180°，请画图并证明 你的结论. 【例】如图，在ABC中，BAC90°,ABAC，BE平分ABC，CEBE.求 证：CEBD 1 2 【解法指导】由于BE平分ABC，因而可以考虑过点D作BC的垂线或延长CE 从而构造全等三角形. 证明：延长CE交BA的延长线于F，12，BEBE，BEFBEC BEFBEC(ASA) CEEF，CECF 1 2 1F3F90°， 13 在ABD和ACF中，ABDACF 13 ABAC BADCAF BDCF CEBD 1 2 【变式题组】 01如图，已知ACBD，EA、EB分别平分CAB、DBA，CD过点E， 求证：ABACBD. D F E B AC 图 1图 图 D CB A 图 2图 图 D BC A E P 图 3图 图 QS R P B AC 图 4图 图 EF BD A C 图 5图 图 E B C A 02如图，在ABC中，B60°，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE 相交于点F. 请你判断FE和FD之间的数量关系，并说明理由； 求证：AECDAC. 演练巩固·反馈提高 01如图，在RtABC中，C90°，BD平分ABC交AC于D，若 CDn，ABm，则ABD的面积是（ ） AmnBmnC mnD2 mn 1 3 1 2 02如图，已知ABAC，BECE，下面四个结论：BPCP；ADBC；AE平分 BAC；PBCPCB.其中正确的结论个数有（ ）个 A1B2C3D4 03如图，在ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PRAB，PSAC，垂足分别 是R、S.若AQPQ，PRPS，下列结论：ASAR；PQAR；BRP CSP.其中正确的是（ ） ABC D 图 6图 图 F E D P A BC 图 7图 图 P A BC E F 图 8图 图 D A B C E 图 9图 图 E DC A B 图 10图 图 K N M Q CB A 04如图，ABC中，ABAC，AD平分BAC，DEAB，DFAC，垂足分别是E、F， 则下列四个结论中：AD上任意一点到B、C的距离相等；AD上任意一点到 AB、AC的距离相等；ADBC且BDCD；BDECDF.其中正确的是（ ） ABCD 05如图，在RtABC中，ACB90°，CAB30°，ACB的平分线与ABC的 外角平分线交于E点，则AEB的度数为（ ） A50°B45°C40°D35° 06如图，P是ABC内一点，PDAB于D，PEBC于E，PFAC于F，且 PDPEPF，给出下列结论： ADAF；ABECACBE；BCCFABAF；点P是ABC三条角平分 线的交点.其中正确的序号是（ ） ABCD 07如图，点P是ABC两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是（ ） A点P到ABC三边的距离相等B点P在ABC的平分线上 CP与B的关系是：PB90°DP与B的关系是：BP 1 2 1 2 08如图，BD平分ABC，CD平分ACE，BD与CD相交于D.给出下列结论：点D 到AB、AC的距离相等；BAC2BDC；DADC；DB平分ADC.其中正 确的个数是（ ） A1 个B2 个C3 个D4 个 F B D E CA O F E D A BC 09如图，ABC中，C90°AD是ABC的角平分线，DEAB于E，下列结论中： AD平分CDE；BACBDE； DE平分ADB；ABACBE.其中正确 的个数有（ ） A3 个B2 个C1 个D4 个 10如图，已知BQ是ABC的内角平分线，CQ是ACB的外角平分线，由Q出发， 作点Q到BC、AC和AB的垂线QM、QN和QK，垂足分别为M、N、K，则 QM、QN、QK的关系是_ 11如图，AD是BAC的平分线，DEAB于E，DFAC于F，且DBDC.求证： BECF 12如图，在ABC中，AD是BAC的平分线，DEAB于点E，DFAC于点F.求证： ADEF. l1 l2 l3 图 1图 图图 3图 图 D C ABP 图 4图 图 F G E P A B C D图 5图 图 E O D B A C G P F E DCB A 培优升级·奥赛检测 01如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求 它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（ ） A一处B二处C三处D四处 02已知RtABC中，C90°，AD平分BAC交BC于D，若BC32，且 BD:CD9:7，则D到AB边的距离为（ ） A18B16C14D12 03如图，ABC中，C90°，AD是ABC的平分线，有一个动点P从A向B运 动.已知：DC3cm，DB4cm，AD8cm.DP的长为x(cm)，那么x的范围是 _ 04如图，已知ABCD，PEAB，PFBD，PGCD，垂足分别为E、F、G，且 PFPGPE，则BPD_ 05如图，已知ABCD，O为CAB、ACD的平分线的交点，OEAC，且OE2， 则两平行线AB、CD间的距离等于_ 06如图，AD平分BAC，EFAD，垂足为P，EF的延长线于BC的延长线相交于点 G.求证：G(ACBB) 1 2 P D A BC Q P CB A 07如图,在ABC中,ABAC,AD是BAC的平分线,P为AC上任意一点.求证: ABACDBDC 08如图，在ABC中，BAC60°，ACB40°，P、Q分别在BC、AC上，并且 AP、BQ分别为BAC、ABC的角平分线上.求证：BQAQABBP