1991年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷数学（一）试题及参考答案

1、1991991 1 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷真题试卷数学数学（一一）试题）试题一、填空题一、填空题( (本题满分本题满分 1515 分分, ,每小题每小题 3 3 分分.).)(1) 设21,cos ,xtyt 则22d y dx=_.(2) 由 方程2222xyzxyz所 确定 的 函数( , )zz x y在 点(1,0, 1)处 的全 微 分dz=_.(3) 已知两条直线的方程是1123:101xyzL；221:211xyzL,则过1L且平行于2L的平面方程是_.(4) 已知当0x 时,1 23(1)1ax与cos1x是等价无穷小,则常数a=_.(5) 设 4 阶方阵5 2 0 02 1 0 00 0 1 20 0 1 1A ,则A的逆阵1A=_.二、选择题二、选择题( (本题满分本题满分 1515 分分, ,每小题每小题 3 3 分分.).)(1) 曲线2211xxey e ()(A) 没有渐近线(B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线(D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线(2) 若连续函数( )f x满足关系式20( )ln22xt

2、f xfdt,则( )f x等于()(A)ln2xe(B)2ln2xe(C)ln2xe (D)2ln2xe(3) 已知级数11( 1)2n n na ,21 15n na ,则级数1n na等于()(A) 3(B) 7(C) 8(D) 9(4) 设D是xOy平面上以(1,1)、 (-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域,1D是D在第一象限的部分,则(cos sin )Dxyxy dxdy等于()(A)12cos sinDxydxdy(B)12Dxydxdy(C)14(cos sin )Dxyxy dxdy(D) 0(5) 设n阶方阵A、B、C满足关系式ABCE,其中E是n阶单位阵,则必有() (A)ACBE(B)CBAE (C)BACE(D)BCAE三、三、( (本题满分本题满分 1515 分分, ,每小题每小题 5 5 分分.).)(1) 求 0lim(cos)xxx.(2) 设n是曲面222236xyz在点(1,1,1)P处的指向外侧的法向量,求函数2268xyuz在点P处沿方向n的方向导数.(3)22()xyz dV,其中是由曲线22 ,0yzx绕z轴旋转一周而成的曲面与平

3、面4z 所围成的立体.四、四、( (本题满分本题满分 6 6 分分) )在过点(0,0)O和( ,0)A的曲线族sin (0)yax a中,求一条曲线L,使沿该曲线从O到A的积分3(1)(2) Ly dxxy dy的值最小.五、五、( (本题满分本题满分 8 8 分分.).)将函数( )2 |( 11)f xxx 展开成以 2 为周期的傅立叶级数,并由此求级数2 11nn的和.六、六、( (本题满分本题满分 7 7 分分.).)设函数( )f x在0,1上连续,(0,1)内可导,且12 33( )(0)f x dxf,证明在(0,1)内存在一点c,使( )0fc.七、七、( (本题满分本题满分 8 8 分分.).)已知1(1,0,2,3),2(1,1,3,5),3(1, 1,2,1)a,4(1,2,4,8)a,及(1,1,3,5)b.(1)a、b为何值时,不能表示成1234、的线性组合？(2)a、b为何值时,有1234、的唯一的线性表示式？并写出该表示式.八、八、( (本题满分本题满分 6 6 分分) )设A为n阶正定阵,E是n阶单位阵,证明AE的行列式大于 1.九、九、( (本题满分

4、本题满分 8 8 分分) )在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点( , )P x y处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.十、填空题十、填空题( (本题满分本题满分 6 6 分分, ,每小题每小题 3 3 分分.).)(1) 若随机变量X服从均值为 2,方差为2的正态分布,且240.3PX,则0P X =_.(2) 随机地向半圆202yaxx(a为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x轴的夹角小于4的概率为_.十一、十一、( (本题满分本题满分 6 6 分分) )设二维随机变量(, )X Y的概率密度为(2 )2, 0,0( , )0, xyexyf x y 其他,求随机变量2ZXY的分布函数.1991991 1 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷真题试卷数学数学（一一）试题参考答案及）试题参考答案及解析解析一、填空题一、填空题( (本题满分本题满分 1515 分分, ,每小题每小题 3 3 分分.).)(1)【答案】3sincos

5、 4ttt t【解析】这是个函数的参数方程,满足参数方程所确定函数的微分法,即如果( )( )xtyt , 则( ) ( )dyt dxt .所以sin 2dy dytdt dxdxt dt,再对x求导,由复合函数求导法则得22sin1()()22d yddydtdt dxdt dxdxdttt232 cos2sin1sincos 424tttttt ttt.(2)【答案】2dxdy【解析】这是求隐函数在某点的全微分,这里点(1,0, 1)的含义是(1,0)1zz .将方程两边求全微分,由一阶全微分形式不变性得222222()()0 2d xyzd xyz xyz ,再由全微分四则运算法则得222()()xdxydyzdzxy dzydxxdy z xyz ,令1,0,1xyz ,得2dxdzdy,即2dzdxdy.(3)【答案】320xyz【解析】所求平面过直线1L,因而过1L上的点(1,2,3)；因为过1L平行于2L,于是平行于1L和2L的方向向量,即平行于向量1(1,0, 1)l 和向量2(2,1,1)l ,且两向量不共线,于是平面的方程1231010211xyz,即320xyz

6、.(4)【答案】3 2【解析】因为当0x 时,11sin,(1)1nxxxxn,当0x 时20ax ,所以有1 22223111(1)1,cos1sin,322axaxxxx 所以12 230021 (1)123limlim1cos13 2xxaxaxaxx .因为当0x 时,1 23(1)1ax与cos1x是等价无穷小,所以213a,故3 2a .(5)【答案】12002500120033 110033 .【解析】为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.根据本题的特点,若知道分块求逆法,则可以简单解答.注意：1110000AABB,1110000ABBA.对于 2 阶矩阵的伴随矩阵有规律：abAcd,则求A的伴随矩阵*abdbAcdca.如果0A ,这样111abdbdbcdcacaAadbc.再利用分块矩阵求逆的法则：1110000AABB,易见112002500120033 110033A .二、选择题二、选择题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).) (1)【答案】(D)【解析】由

7、于函数的定义域为0x ,所以函数的间断点为0x ,222200011limlimlim 11xxxxxxxeey ee ,所以0x 为铅直渐近线,222211limlimlim1 11xxxxxxxeey ee ,所以1y 为水平渐近线.所以选(D).【相关知识点】铅直渐近线：如函数( )yf x在其间断点0xx处有0lim( ) xxf x ,则0xx是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当lim( ),( xf xa a 为常数）,则ya为函数的水平渐近线.(2)【答案】(B)【解析】令2tu ,则2 ,2tu dtdu,所以200( )ln22 ( )ln22xxtf xfdtf u du,两边对x求导,得( )2 ( )fxf x,这是一个变量可分离的微分方程,即 ( )2( )d f xdxf x.解之得2( )xf xCe,其中C是常数.又因为00(0)2 ( )ln2ln2ff u du,代入2( )xf xCe,得0(0)ln2fCe,得ln2C ,即2( )ln2xf xe.(3)【答案】(C)【解析】因为1 1234212 1( 1)nnnn naaaaaaa 123

8、4212()()()nnaaaaaa212212 111()nnnn nnnaaaa (收敛级数的结合律与线性性质),所以1 221 111( 1)523n nnn nnnaaa .而1234212 1()()()nnn naaaaaaa 212212 111()nnnn nnnaaaa 538,故应选(C).(4)【答案】(A)【解析】如图,将区域D分为1234,D D D D四个子区域.显然,12,D D关于y轴对称,34,D D关于x轴对称.令12cos sinDDIxydxdyIxydxdy ,由于xy对x及对y都是奇函数,所以12340,0DDDDxydxdyxydxdy.而cos sinxy对x是偶函数,对y是奇函数,故有34121cos sin0,cos sin2cos sinDDDDDxydxdyxydxdyxydxdy,所以112(cos sin )2cos sinDDxyxy dxdyIIxydxdy,故选(A).(5)【答案】(D) 【解析】矩阵的乘法公式没有交换律,只有一些特殊情况可以交换.由于A、B、C均为n阶矩阵,且ABCE,对等式两边取行列式,据行列式乘法公式| 1A B C ,得到0A 、0B 、0C ,知A、B、C均可逆,那么,对于ABCE,先左乘1A再右乘A有1ABCEBCABCAE,故应选(D).其实,对于ABCE先右乘1C再左乘C,有1ABCEABCCABE.三、三、( (本题满分本题满分 1515 分分, ,每小题每小题 5 5 分分.).)(1)【解析】这是1型未定式求极限.1(cos1

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