概率论与数理统计第二章

1、概率论与数理统计,计算机科学学院 裘国永,第二章 随机变量及其分布,随机变量 离散型随机变量及其分布律随机变量的分布函数连续型随机变量及其概率密度随机变量的函数的分布,在实际问题中，有些随机试验的结果本身就是数值（如班级的平均分数），而许多并不是数值（掷硬币的结果）。我们对数值的处理比较得心应手。因此，如果能用数值来表示样本空间的样本点，就会非常方便。由此就产生了随机变量的概念。,2.1 随机变量,一、随机变量概念的产生,1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）,例如：掷一颗骰子面上出现的点数；,七月份西安的最高温度。,每天从西安下火车的人数；,昆虫的产卵数；,例如：抛掷一枚硬币可能出现的两个结果, 可以用一个变量来描述。,2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果。也就是说，把试验结果数值化,再如：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面和反面的情况，则样本空间是S=HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT。令X表示三次投掷得到正面H的总数，那么X是定义在S上的一个实单值函数。,称这种定义在样本空间上的实值函

2、数为,随,量,机,变,简记为 r.v.（Random variable）,定义 设S=e是试验的样本空间，如果量X是定义在S上的一个实值单值函数，即对于每一个eS，有一实数X=X(e)与之对应，则称X为随机变量。,随机变量通常用大写字母X, Y, Z或希腊字母、等表 示，而表示随机变量所取的值时，一般采用小写字母x, y, z等。,这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数一样吗？,（2）随机变量的取值具有随机性，它随试验结果的不同而取不同的值，试验之前仅知道它可能取值的范围，而不能预知它取什么值。它与普通函数的区别在于随机变量取某一个值或在某个区间内取值均为随机事件。,（1）随机变量是定义在样本空间S上的实值单值函数，S中的元素不一定是实数，而普通函数只是定义在实数轴上。,（3）随机变量的取值具有统计规律性。由于试验结果的出现有一定的概率，因而随机变量取各个值也有一定的概率。,例如，从某一学校随机选一学生，测量他的身高。,我们可以把可能的身高看作随机变量X，然后可以提出关于X的各种问题：,如 PX1.7=？ PX1.5=?,P1.5X1.7=?,例：引入适当的随机变量描述下列事件：,

3、 将3个球随机地放入三个格子中，事件A=有1个空格，B=有2个空格，C=全有球X：空格的个数, 进行5次试验，事件D=试验成功一次，F=试验至少成功一次，G=至多成功3次X：试验成功的次数,随机变量概念的引入是概率论走向成熟的一个标志，它弥补了随机试验下的随机事件种类繁多，不易一一总结它们取值规律的缺陷，因为如果知道随机变量的分布， 随机试验下任一随机事件的概率也随之可以得到；另外引入随机变量后，可以使用高等数学的方法来研究随机试验。,二、引入随机变量的意义,事件及事件概率,随机变量及其取值规律,思考 将一枚硬币抛掷3次，用X表示3次抛掷出现H的总次数，那么对样本空间S中的每一个样本点，X都有一个数与之对应，即,那么 PX=1=? PX2=?,一般，若L是一个实数集合，将X在L上取值写成XL。它表示事件B=e| X(e)L，此时有PXL=P(B)=Pe| X(e)L。,上例 PX=1=P(A), A=HTT, THT, TTH PX2=P(B), B=HTT, THT, TTH, TTT,三、事件和随机变量之间的关系,随机变量,离散型随机变量,连续型随机变量,非离散型随机变量,奇异型随

4、机变量,所有取值可以逐个一一列举,全部可能取值不仅无穷多，而且还不能一一列举，而是充满一个区间,四、随机变量的分类,离散型随机变量：随机变量所有可能取的值是有限个或可列无限多个。,为了掌握随机变量X的统计规律性，我们不仅需要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取每个值的概率。,2.2 离散型随机变量及其分布率,如X：取到次品的个数，Y：收到的呼叫数等都是离散型随机变量，但Z：电视机的寿命 不是离散型随机变量。,这样，我们就掌握了X这个随机变量取值的概率规律。,从中任取3个球,取到的白球数X是一个随机变量,X可能取的值是0,1,2,取每个值的概率为,例2.1,且,1、定义 设离散型随机变量X的所有可能取值为xk（k=1, 2, ），称X取各个可能值的概率，即事件X=xk的概率， PX=xk=pk, （k=1, 2, ） 为X的分布律或概率分布（Probability distribution）。也可以表示为,一、离散型随机变量概率分布的定义,用这两条性质判断一个函数是否是概率分布,（1） pk 0, k1, 2, ;（2）,2. 分布律的性质,解: 依据概率分布的性质:,a0,从中解得

5、。,欲使上述函数为概率分布,这里用到了幂级数展开式,k =0,1,2, ,3. 利用分布律求事件概率,离散型随机变量的分布律不仅给出了X=xk 的概率，而且通过它可以求事件发生的概率。,由概率的有限可加性有,例2.3 设袋中有5只球，其中有2只白3只红。现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概率。,解：k可取值0，1，2，,求抽得白球数至少为的概率。,?,例2.4 某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的分布律。,解：X可取0、1、2为值,PX =0=(0.1)(0.1)=0.01,PX =1= 2 (0.9)(0.1) =0.18,PX =2=(0.9)(0.9)=0.81,且 PX =0+ PX =1+ PX =2=1,1. （0-1）分布若随机变量X只取0和1，其分布律为 PXkpk(1p)1k, k0,1 (0p1)则称X服从参数为p的（0-1）分布(贝努利分布或两点分布) （Two-point distribution）。,二、常见的离散型随机变量的概率分布,其分布律也可以写成,凡是随机试验只有两个可能的结果，常用0 - 1分布描述，如产品是

6、否格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等。,应用场合,则 PX=1=196/200=0.98，PX=0=4/200=0.02， 故X服从参数为0.98的两点分布。,若以X表示n重伯努利试验事件A发生的次数，则称X服从参数为n, p的二项分布（binomial distribution）。记作Xb（n, p), 其分布律为：,2. 伯努利试验、二项分布,设将试验独立重复进行n次，每次试验都只有两种可能的结果A和 ，设事件A发生的概率为p，则称这n次试验为n重伯努利试验。,例2.6 从某大学到火车站途中有6个交通岗，假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立，并且遇到红灯的概率都是1/3。（1）设X为汽车行驶途中遇到的红灯数，求X的分布律。（2）求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率。,解:（1）由题意， X b(6,1/3), 于是X的分布律为:,例2.7 某人射击的命中率为0.02，他独立射击400次，试求其命中次数不少于2的概率。,解：设X表示400次独立射击中命中的次数，,则Xb(400, 0.02)， 故, PX2=1-PX=0-PX=1 =1-0.98400-(400)

7、(0.02)(0.98399)=0.9972。,例2.8，见P35例2。,注: 伯努利概型对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求：,（1）每次试验条件相同；,二项分布描述的是n重伯努利试验中出现“成功”次数X的概率分布。,（3）各次试验相互独立。,二项分布 b(n,p) 和0-1分布之间的关系,1.若X服从0-1分布，则X b(1, p) ；2. 把试验E在相同条件下，相互独立地进行n次，记X为n次独立试验中结果A出现的次数，Xi为第i次试验中结果A出现的次数，则Xi b(1, p)，且,X= X1+X2+Xn b(n, p)。,3. 泊松(Poisson)分布,定义 若离散型随机变量X的分布律为PXk , k0, 1, 2, (0),则称X服从参数为的泊松分布，记为X()。,易见,例2.9 某一无线寻呼台，每分钟收到寻呼的次数X服从参数 =3 的泊松分布。求：（1）一分钟内恰好收到3次寻呼的概率。 （2）一分钟内收到2至5次寻呼的概率。,解：因为 X (3)，所以X的分布律为 PX=k=(3k/k!)e-3 , k0, 1, 2, .则，（1） PX=3=(33/3!)e-30.2

8、240 （2） P2X5 =PX=2+PX=3+PX=4+PX=5 =(32/2!)+(33/3!)+(34/4!)+(35/5!)e-3 0.7169,解:,例2.10 某一城市每天发生火灾的次数X服从参数为0.8的泊松分布。求该城市一天内发生3次以上火灾的概率。,PX3=1- PX3 =1-PX=0+ PX=1+PX=2 =1-(0.8 0/0!)+(0.81/1!)+(0.82/2!)e-0.8 0.0474,泊松分布的图形特点：,Xp(l),历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的。,泊松定理：对于二项分布b(n,p)，当n充分大，p又很小时，则对任意固定的非负整数k，有近似公式 PX=k= pk(1-p)n-k 其中 。,对例2.用泊松定理，取 =np(400)(0.02)8，故近似地有,PX21 PX0P X11(18)e80.996981。,由泊松定理，n重伯努利试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布。,我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件，如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等。,对于离散型随机变量，如果知道了它的概率分布,也就知道了该随机变量取值的概率规律。在这个意义上，我们说,离散型随机变量由它的概率分布唯一确定。,两点分布、二项分布、泊松分布,作业P55：2、4、6、12,对非离散型随机变量，其取值不是离散的，有时可以充满整个区间，对于这种更一般的随机变量， 我们感兴趣的就不是它取到某个具体的数的概率，而是它的取值落在某一个区间上的概率，比如：Px1a。,Px1a=1-PX a。,2.3 随机变量的分布函数,设X是随机变量，对任意实数x，事件Xx的概率PXx称为随机变量X的分布函数（ Distribution function），记为F(x)，即 F(x)PXx。,易知，对任意实数a, b (ab)， PaXbPXbPXa F(b)F(a)。,一、分布函数的概念,1. 这里分布函数的定义对任何随机变量都适用。,2. 分布函数F(x)P Xx 是一个普通的函数，它的自变量是全体实数。掌握了X的分布函数就掌握了X在(, +)上的概率分布情况。,

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