复杂网络理论及应用

1、简介: 复杂网络理论及其应用,王继民 2006年5月21日,outline,小世界实验 六度分离、Erdos数、bacon数等 一些实际的复杂网络系统 Web、科学家合作网络、经济网络、交通网络、疾病传播等 复杂网络的静态几何量 度分布、聚类系数、平均路径长度等 网络拓扑的基本模型及其性质 随机网络、Small World网络、Scale Free网络等 近几年的研究态势 发展历程、会议、论文、软件、实证等,小世界实验- 六度分离,我们或许有过这样的经历：偶尔碰到一个陌生人，同他聊了一会后发现你认识的某个人居然他也认识，然后一起发出”这个世界真小”的感叹。那么对于世界上任意两个人来说，借助第三者、第四者这样的间接关系来建立起他们两人的联系平均来说最少要通过多少人呢？ 美国社会心理学家斯坦利米尔格伦(Stanley Milgram)在1967年通过一些实验后得出结论：中间的联系人平均只需要5个。他把这个结论称为”六度分离”(six degrees of separation)。 六度分离: 平均只要通过5个人，你就能与世界任何一个角落的任何一个人发生联系。这个结论定量地说明了我们世界的”

2、大小”，或者说人与人关系的紧密程度。 30多年来，六度分离理论一直被作为社会心理学的经典范例之一。 尽管如此，实际上这个理论并没有得到严格的证实。美国心理学教授朱迪斯克兰菲尔德(Judith Kleinfeld)对米尔格伦最初的实验提出不同意见，因为她发现实验的完成率极低。,小世界实验- 六度分离,米尔格伦的实验过程是：他计划通过人传人的送信方式来统计人与人之间的联系。 首先把信交给志愿者A，告诉他信最终要送给收信人S。如果他不认识S，那么就送信到某个他认识的人B手里，理由是A认为在他的交集圈里B是最可能认识S的。但是如果B也不认识S，那么B同样把信送到他的一个朋友C手中，就这样一步步最后信终于到达S哪里。这样就从A到B到C到最后到S连成了一个链。斯坦利米尔格伦就是通过对这个链做了统计后做出了六度分离的结论。 然而在这个实验中，实际上只有三分之一的信送到了收信人哪里，因此实验的完成率很低。,小世界实验-Erdos数,Paul Erdos(1913-1996)， 出生于匈牙利的犹太籍数学家，被公认为本世纪最伟大的天才之一。 Erdos毕生发表的论文超过1500篇（在数学史上仅次于欧拉(E

3、uler，1707-1783)，超长的合作者名单,合作者超过450位。但若加上别人所做但曾获他关键性的提示之论文，则他的论文应有数万篇。 他的研究领域主要是数论和组合数学，但他的论文中涵盖的学科有逼近论、初等几何、集合论、概率论、数理逻辑、格与序代数结构、线性代数、群论、拓扑群、多项式、测度论、单复变函数、差分方程与函数方程、数列、Fourier分析、泛函分析、一般拓扑和代数拓扑、统计、数值分析、计算机科学、信息论等等。 Mathematical Reviews 曾把数学划分为大约六十个分支，Erdos的论文涉及到了其中的40%.,小世界实验-Erdos数,Erdos从来没有一固定的职位，从来不定居在一个地方，也没有结婚，带著一半空的手提箱，穿梭于学术研讨会，浪迹天涯，颇富传奇色彩。有人称他为流浪学者(wande ringscholar)。 他效忠的是科学的皇后，而非一特定的地方。各地都有热心的数学家提供他舒适的食宿，安排他的一切，他则对招待他的主人，给出一些挑战性的数学难题，或给予研究上的指导做为回馈。 他可以和许多不同领域的数学家合作。数学家常将本身长久解决不了的问题和他讨论，于是

4、很快地一篇论文便诞生了。,小世界实验-Erdos数,数学家以下述方式来定义Erdos数(Erdosnumber):Erdos本人之Erdos数为0，任何人若曾与Erdos合写过论文，则其Erdos数为1。任何人若曾与一位Erdos数为l(且不曾与有更少的Erdos数)的人合写过论文，则他的Erdos数为2 几乎每一个当代数学家都有一个有限的Erdos数，而且这个数往往非常小，小得出乎本人的预料。比如说证明Fermat大定理的Andrew Wiles，他的研究方向与Erdos相去甚远，但他的Erdos数只有3，是通过这个途径实现的：Erdos-Andrew Odlyzko-Chris M.Skinner-Andrew Wiles.,小世界实验-Erdos数,Fields奖得主的Erdos数都不超过5，（只有Cohen和Grothendieck的Erdos数是5，） Nevanlinna奖得主的Erdos数不超过3，（只有Valiant的Erdos数是3） Wolf数学奖得主的Erdos数不超过6，（只有V.I.Arnold是6，且只有Kolmogorov是5，） Steele奖的终身成就

5、奖得主的Erdos数不超过4. 在具有有限Erdos数的人名单中往往还能发现一些其他领域的专家，如: 比尔盖兹(Bill Gates)， 他的Erdos数是4，通过如下途径实现：Erdos-Pavol Hell-Xiao Tie Deng-Christos H. Papadimitriou-William H. (Bill) Gates. 爱因斯坦是2.,小世界实验- Bacon数,截止到几天前，世界电影史上共产生了大约23万部电影，78多万名电影演员（参见互联网电影库 ）. Kavin Bacon在许多部电影中饰演小角色。 几年前,Virginia 大学的计算机专家Brett Tjaden设计了一个游戏，他声称电影演员Kevin Bacon是电影界的中心。 在游戏里定义了一个所谓的Bacon数：随便想一个演员，如果他（她）和Kavin Bacon一起演过电影，那么他（她）的Bacon数就为1；如果他（她）没有和Bacon演过电影，但是和Bacon数为1的演员一起演过电影，那么他的Bacon数就为2；以此类推。 发现: 在曾经参演的美国电影演员中，没有一个人的Bacon数超过4。,小世

6、界实验- Bacon数,小世界实验- Bacon数,在网上有一个网页http:/www.cs.virginia.edu/oracle/。网站的数据库里总共存有有783940个世界各地的演员的信息以及231,088部电影信息。 通过简单地输入演员名字就可以知道这个演员的bacon数。目前比如输入Stephen Chow（周星驰）就可以得到这样的结果：周星驰在1991年的豪门夜宴(Haomen yeyan) 中与洪金宝(Sammo Hung Kam-Bo)合作；而洪金宝又在李小龙的最后一部电影，即1978年的死亡的游戏 （Game of Death） 中与 Colleen Camp 合作；Colleen Camp 在去年的电影Trapped 中与Kevin Bacon 合作。这样周星驰的培根数为3。 是对所有这将近78万个演员所做的统计。结果如下页所示: 左边是Bacon数，右边是拥有这个Bacon数的演员个数。可以看到最大的培根数仅仅为8。平均培根数仅为2.948。,小世界实验- Bacon数,小世界实验- Bacon数,Kavin Bacon图 有明确的定义（顶点和边） 数据库中90%

7、的演员被归入到一个单独的连通分支 最高的有限Bacon数为8 平均Bacon数为2.9 注：少数演员承担了将多数演员联系在一起的工作。,小世界实验-用E-mial传递,检验六度分离的假说,D. watts 2001年开始, 18名目标对象, 166个国家共 6万多志愿者, 平均转发57次,outline,小世界实验 六度分离、Erdos数、bacon数等 一些实际的复杂网络系统 Web、科学家合作网络、经济网络、交通网络、疾病传播等 复杂网络的静态几何量 度分布、聚类系数、平均路径长度等 网络拓扑的基本模型及其性质 随机网络、Small World网络、Scale Free网络等 近几年的研究态势 发展历程、会议、论文、软件、实证等,网络的拓扑性质,网络是一个包含了大量个体及个体之间相互作用的系统. 任何一个网络可以抽象为一个图.（最早可追溯到Euler对Konogsberg七桥问题的研究） 网络的拓扑性质：网络不依赖于节点的具体位置和边的具体形态就能表现出来的性质。 图的分类: 无向图, 有向图,加权图, 混合图 简单图是指: 无向,无权,无重边,无自环的图. 目前关于简单网络的研究

8、结果较多,一些实际的复杂网络系统,Web Internet 网络, 电影演员合作网络, 科学家合作网络, 论文引用网络 电话呼叫网络 语言学网络, 电力网络 经济网络, 交通网络 疾病传播 神经网络 人类性关系网络, 蛋白质互作用网络, 蛋白质折叠关系网络 .,Complex Network Example: WWW - (K. C. Claffy) 有向网络， 结点：web页面，边：超链,Complex Network Example: Internet (William R. Cheswick) 无向网络， 结点：路由器和计算机， 边：通讯设备（如电缆等）,Complex Network Example: Telecomm Networks (Stephen G. Eick),Complex Network Example: Routes of Airlines,Complex Network Example: Usenet (Naveen Jamal),Complex Network Example: VLSI Circuits, CNN,Complex Network Exam

9、ple: Biological Networks,Complex Network Example: Arts ,一些实际的复杂网络系统,Web 有向网络， 结点：web页面，边：超链 Internet 网络 无向网络， 结点：路由器和计算机， 边：通讯设备（如电缆等） 电影演员合作网络 无向网络， 结点：电影演员， 边：两个电影演员一起演过电影 科学家合作网络 无向网络， 结点：科学家， 边：两个科学家一起发表过一篇论文 论文引用网络 有向网络， 结点：论文，有向边：论文引用 电话呼叫网络 有向网络， 结点：电话号码，有向边：电话呼叫 语言学网络 无向网络， 结点：单词， 边：两个词相邻，（或出现在同一个句子中，或相同语义） 电力网络 无向网络， 结点： 发电厂，电站，接转站。 边：高压线 经济网络, 交通网络 疾病传播 神经网络 人类性关系网络, 蛋白质互作用网络, 蛋白质折叠关系网络 .,outline,小世界实验 六度分离、Erdos数、bacon数等 一些实际的复杂网络系统 Web、科学家合作网络、经济网络、交通网络、疾病传播等 复杂网络的静态几何量 度分布、聚类系数、平均路径长度等 网络拓扑的基本模型及其性质 随机网络、Small World网络、Scale Free网络等 近几年的研究态势 发展历程、会议、论文、软件、实证等,复杂网络的静态几何量,度分布（degree distribution） 聚类系数 (clustering coefficient) 平均路径长度(average path length) 无向网络的基本几何量有: 度及其分布特征,度的相关性,集聚程度及其分布特征,最短距离及其分布特征,介数(Betweenness) 及其分布特征,连通集团的规模分布 有向网络的特殊静态几何量包括: In 度和Out 度的分布特征,基于顶点的In-Out 度关联性,基于边的( In-Out , In- In ,Out- In ,Out-Out) 度关联性,双向比, In 集团和Ou

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