第三章 线性映射与线性变换

1、,哈尔滨工程大学理学院 矩阵论教学团队,Department of Mathematics, College of Sciences,书后要求的习题,主动自觉做,抽查和不定时收取,使用讲义, 矩阵论讲义自编待出版,其他辅导类参考书（自选）,课 程 要 求,作业要求,矩阵论网站,授课预计 (4学时),第三章 线性映射与线性变换,线性映射与线性变换,线性变换的不变子空间,酉（正交）变换 正交投影,教 学 内 容 和 基 本 要 求,1, 理解线性映射及线性变换的概念，掌握线性映射及变 换 的矩阵表示。掌握线性映射的值域、核等概念 .,重点: 线性映射及线性变换;不变子空间，酉变换； 难点: 不变子空间,2, 理解线性变换的不变子空间得相关概念和性质,3, 理解线性变换的不变子空间得相关概念和性质,线性映射与线性变换,3.1,1.3.1 线性映射的概念与性质,线性映射,定义1,设 是数域F 上的两个线性空间,为 到 的映射，如果,满足：,（1）称,定义2,为零映射。,（2）称,为恒等变换。,设 是线性映射,（3）称 为T的负映射 ，其中 均有：,事实上，,由数k决定的数乘变换：,例1.,为V

2、 上的线性变换,例2 设 ，对 定义映射 ：,验证T为 上的线性变换,解答 显然T是映射；由于,T为 上的线性变换,定理1,设 为 到 的线性映射，则,(2).,(4).,(5). 是 的子空间,证明 （1）和（2）显然，下证（3）,设 为 中的线性相关组，则存在,不全为零的 ，使得：,于是有：,由T的线性性质则有,由此可得：,是线性相关的。,由此知（4）可由（3）直接得到，下证（5）,证明:,从而,设 都是 到 的线性映射,(1)若任意的 ,均有: ，则称 线性映射 相等.记为： 。,(2)称 为线性映射 的线性组合.,定义3,定义4,设 是 到 的线性映射, 是 到,的线性映射，令：,则称 为 与 的复合或者乘积,设 均为 是线性映射,定理2,和 分别是零映射和负映射， ，则有：,证明:(2) 由于: ,所以,即:,例3. 设 ，对 有：,则T 是 上的线性变换。设：,求 和,解答：因为 ，所以,而,可见,3.1.2 线性映射下矩阵的刻画,的基, 是 的基.,设 是线性映射，,记: 则存在 唯一 的 使得:,称 为线性映射 在基 与基 下的矩阵,定义5,是,设 则,定义6,设 均为

3、 线性映射,定理4,为 的基，且,则有：,设 ， ,定理5 为,上的矩阵映射,则T在 到 的自然基底下的矩阵,即为,证明 对 存在常数 ,使得：,是 的基； 与,定理6,设 是线性映射，,与,是 的基；,由 到,阵为P ；由,为Q ，T 在 与 下的矩阵为,的过渡矩,到 的过渡矩阵,为A ，T 在 与 下的矩阵为,B，则有：,此定理给出了四个矩阵之间的一个关系等式，,即：,之间的一个重要等式,定理4的证明 由假设条件：,将式（3）（4）代入（2）得到,再将（1）代入（5）的左端得到,比较两端有,从而：,例4. 设 ，对,解答 （1）,由 可知,所以,（2）根据定理5,所以，,3.1.3 线性映射的核与值域,定义7,为 的值域.,特别的:若,为 的核子空间.,定理7,若 则,证明: 设 是 的基,则:,与基 下的,的基, 是 的基，T 在基,设 是线性映射， 是,定理8,矩阵为A，则：,证明 由定理5知,而,所以：,下证明,若 ,则定理显然成立；若 ，则可设：,令 ，并记,则： ，,，并设 线性无关，令,则有,由 ，及 的线性无关性,有：,由此有： ， 无关,即：,反之，设 线性无关,令

4、,则,因而得到： ，由此有,线性无关，所以：,从而有,即,所以,设 是线性映射，则,定理9,证明 ：设 ， 是一组基,由扩基定理，可以将其扩充成整个空间的基底：,于是有：,下面证明： 线性无关。,假设 即：,故 ，则,使得：,移项得到：,由次得到：,所以 线性无关。,所以,例5. 求线性映射 ，,在基 与,下的矩阵A，并求 。,解答,由公式 得,所以有：,例6.设 为 的基，,为 的基，,试求 和 ，并求 和 。,解答 根据定义，,则对,均有 且满足：,由,将其代入上式中,即：,解得它的基础解系为：,即,又由于：,例7. 设,为 的一组基，,为 的一组基，线性映射：,在基 与基 下的矩阵为,（1）求 与 ；,（2）求 与 。,解答 ：根据定义知,则对,均有：,且,而,则有：,即,解得它的基础解系为：,3.1.4 再论线性变换,其中,矩阵表示为,同理，若用,线性表示，则有：,（3-13）,（3-14）,若 , 即 是 上的线性变换，,线性变换 在基 与 下的矩阵。,称（3-13）中的矩阵A为线性变换 在基,定义7,（1） A的第i 列是 在基 下的坐标,下的矩阵；而称（3-14）中的矩阵

5、 为,定理10,为 的一组基，则：,（2）线性变换T,在取定一组基下的矩阵是唯一的.,（3） 其中：对任意的,和 在基底下的坐标为:,在线性变换中，零变换在任意一组基下的矩阵,皆为零矩阵；数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为 数量矩阵；,设 为数域P上线性空间V的一组基，,的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质：,（1） 线性变换的和对应于矩阵的和；,（2） 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；,（3）线性变换的数乘对应于矩阵的数乘；,定理11,在这组基下，V 的每一个线性变换都与 中,设线性空间V的线性变换在两组基,下的矩阵分别为A、B，且从基() 到基()的,过渡矩阵矩阵是P，则,定理13,可见，线性变换在不同基下的矩阵是相似的，反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一线性变换在两组基下所对应的矩阵。,例8.,设,（1） 求V 的维数，并写出V 的一组基；,（2） 在V 中定义线性变换 T ：,求T 在（1）中所取基下的矩阵。,解答：,（1） ，且一组基为,（2） 因为,所以：,同理：,则T 在 下的矩阵为,（2） 在V 中定义线性变换 T ：,例9. 设线性空间 的线性变换为,求在自然

6、基底下的矩阵.,解：,例10， 在线性空间 中，线性变换定义如下：,（1）求 在标准基 下的矩阵.,（2）求在下的矩阵.,解：（1）由已知，有,自然基底,设 在标准基 下的矩阵为A，即,即： 为过渡矩阵,因而，,解答: （1）,A不可逆,所以， D不可逆,可见B可逆，T为可逆线性变换。,经计算得，,故,定义9 设 是数域 上的线性空间 上的线性变换 。令,称 是线性变换 的值域，而 是线性变换的核。 的维数称为 的秩， 的维数称为 的零度。,解答 （1）,只需解方程 即可，解得基础解系为,所以：,（2） 的维数,例13* 设线性变换 在4维线性空间 的基 下的矩阵为,（2）求 的一组基，把它扩充成 的一组基，并求 在这组基下的矩阵 。,（1）求 的一组基，把它扩充成 的一组基，并求 在这组基下的矩阵 ；,解：,（1）对任意,因此,解得基础解系,则 的基为,将 的基扩张为 的基,由于,从而,所以 在 的这组基下的矩阵为,（2）由于,由于,从而,这说明,因此,由于,将 的基扩张为 的基,从而,这样,所以 在 的这组基下的矩阵为,对于一个有限维的n维线性空间V，设T是一个线性变换，总有T(V

7、)V，如何才能选到V的一个基，使T关于这个基的矩阵具有尽可能简单的形式. 由于一个线性变换关于不同基的矩阵是相似的. 因而问题也可以这样提出：在一切彼此相似的n阶矩阵中，如何选出一个形式尽可能简单的矩阵？,线性变换的不变子空间,3.2,本节介绍一个关于线性变换的重要概念不变子空间. 同时利用不变子空间的概念，来说明线性变换的矩阵的化简与线性变换的内在联系.,定义1,设 是数域F上线性空间V的线性变换，,则称W是的不变子空间，简称为 子空间.,W是V的的子空间，若 有,Hot,定理1,两个子空间的交与和仍是子空间,子空间,设 则W是,证： 显然成立.,任取 设,则,定理2,的充要条件是,故 为 的不变子空间.,所以， 也为 的不变子空间.,又任取 有,例1.,证：,对存在 使,于是有:,为 的不变子空间.,若 则 与 都是 子空间.,其次，由 对,有 所以,只需证明 即有:,例2.,故 为 的不变子空间.,例3.任何子空间都是数乘变换的不变子空间.,例4. 线性变换 的特征子空间 是 的,有,不变子空间.,例5.由 的特征向量生成的子空间是 的不变子空间,的特征向量.,为 的不变子空间.

8、,证：设 是的分别属于特征值,任取,事实上，因为W是V的不变子空间.,均可被,线性表出.,即，,从而，,设,在这组基下的矩阵为,若 ，则,为V的一组基，且在这组基下 的矩阵为准对角阵,设 是 维线性空间V的线性变换， 都是,的不变子空间，而 是 的一组基，且,（1）,定理4,的子空间 为 的不变子空间，且V具有直和分解：,由此即得：,下的矩阵为准对角矩阵(1), 则由生成,V的线性变换在某组基下的矩阵为准对角形,V可分解为一些的不变子空间的直和.,反之，若 在基,设3维线性空间V的线性变换在基,下的矩阵为,证明： 是的不变子空间.,令,由,练习1,解答,有,即,故W为的不变子空间.,设T 是酉(欧氏)空间V的线性变换，如果对任意的 ，均有,则称T是酉(欧氏)空间V的一个酉(正交)变换。,例1 设A为n阶酉(正交)矩阵，证明,为Cn(Rn)上的酉（正交）变换,证明：,例2 设,其中,证明H是Cn上的酉变换。,证明：,豪斯何尔德镜像变换,是酉矩阵,(4) T在V的任一标准正交基下的矩阵是酉(正交)矩阵,定理1：设T是酉（欧氏）空间V 的线性变换，那么下 列命题等价。,(1) T是酉（正交）变换；,(2),设 是V 的标准正交基，则 也是V的标准正交基；,证明： (1) (2)，显然成立。,(2) (3),显然 。只需在 条件下推出

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