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2-4 向量范数

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1、,哈尔滨工程大学理学院矩阵论教学团队,Department of Mathematics, College of Sciences,书后要求的习题,主动自觉做,抽查和不定时收取,使用教材, 矩阵论教程国防工业出版社 2012,其他辅导类参考书（自选）,课程要求,作业要求,矩阵论网站,授课预计 (10学时),第二章内积空间与赋范线性空间,内积空间,标准正交基与向量的正交化,正交子空间,向量范数,矩阵范数,向量范数与矩阵范数的相容性,教学内容和基本要求,2, 理解内积空间的标准正交基，会用施密特正交化方法构造标准正交基；,3, 理解正交子空间及其正交补的概念；,1，熟练掌握内积的计算方法，知道度量矩阵及其基本性质，理解内积空间的概念；,5, 理解谱半径的概念，掌握谱半径的相关性质；,重点：施密特正交化方法；正交子空间及其正交补；算子范数；相容性,难点：正交基及子空间的正交关系，算子范数及其与向量范数的相容性,教学内容和基本要求,4, 理解向量范数的概念；理解矩阵范数的概念，掌握算子范数，会求常用的算子范数，并掌握矩阵范数与向量范数的

2、相容性；,4-6 导学,在实际中经常需要考虑一串向量（矩阵）的渐变过程，也需要处理以矩阵为自变量，值也是矩阵的函数，因此需要度量两个向量或两个矩阵之间的距离。,回顾几何空间 ,上两点（或两向量）之间的距离为：,满足,将此距离推广到一般的线性空间,定义范数,可以得到向量与向量、矩阵与矩阵之间的距离，从而研究向量序列和矩阵序列收敛的问题（第七章）。,4-6 导学,线性空间,定义范数,赋范线性空间,2.研究不同的向量范数、矩阵范数以及向量范数与矩阵范数的相容性。,3.研究范数的目的是：,1.利用公理化的方法定义范数。,设V是数域F(R或C)上的线性空间，实值函数称为向量范数，是指对于任意 x，yV，满足下列性质：,空间V称为赋范线性空间，是V中向量x的范数，简称向量范数。,向量范数,2.4,根据范数定义，显然几何空间的距离就是一种范数。,此外，向量范数是定义在线性空间上的一个非负的实值函数，它具有如下的性质：,证明(4)：,另一方面，,综上有，,证明: 只需验证(1)正定性,(2)齐次性,(3)三角不等式,例 1,(1)(2)显然，现验证满足三角不等式。,利用线性空间中已知的范数可以

3、构造新的范数,是上的范数.,证明：当时，由 , ，可知,即正定性成立。,对任意的常数kC，及任意的xV，有,即齐次性成立。,即三角不等式成立。,对任意的yV，有,例 3 设Ca,b是由 a,b上所有连续函数f(x)所构成的集合,按照通常意义下的加法和数乘构成线性空间，如下三种映射是该空间中常用的三种范数,设是向量空间上的任一向量,也称为欧氏范数,（1）1范数,（2）2范数,（3）范数,（4）p范数,显然在p -范数中，令p=1, p=2或p ，则它分别对应了向量的1-范数,2-范数和-范数。,下面我们仅证明是范数。,为此先引入两个著名的不等式。,2.（Minkowski不等式）：,1.（Hlder不等式）：,其中 ,且,其中实数。,证明:只需验证(1)正定性,(2)齐次性,(3)三角不等式,例 4 设向量，对任意的数,设,(1) 正定性显然。,(2) 对任意的常数 ,由实值函数的定义:,(3) 由Minkowski不等式知,由此例可知，取定p的不同的值，就可以在同一个线性空间中定义不同的向量范数。,若存在两个与x无关的正常数m，M，,设n维线性空间中定义了两种向量范数,使得,则称与在n维线性空间V中等价。,显然向量范数等价具有自反性、对称性和传递性。,例 5 中的和两两等价.,所以等价,证明: (1) 设 ,则有,即,(2),所以等价,即,由于向量范数等价具有对称性和传递性，所以所证成立。,是关于其分量的实值函数,记,则对任意的可以表示成:,设是中的向量的向量范数,则必为的连续函数,于是有:,定理1,证明: 设Cn中的一组基为,又由于是固定向量的范数,所以,它与是无关的,所以,当时,有:,所以必为的连续函数,定理2,n维线性空间 (或 )中任意两种向量范数等价.,当x=0 时, 结论显然成立；当x0时，空间中的范数是其分量的连续函数，因此构造函数,证明:,中两种任意的向量范数。,和有限闭集,是n维线性空间,则在有界闭集S上连续。根据多元函数的性质，在S上可取得最大值M与最小值m。,对任意的向量xV，且x0，则,且,和有限闭集,所以在n维线性空间中等价。,即,则,注意到,Good,Bye,

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