第八章3 矩阵积分
27页1、,哈尔滨工程大学理学院 矩阵论教学团队,Department of Mathematics, College of Sciences,课前预习、课中提高效率、课后复习,书后要求的习题,主动自觉做,抽查和不定时收取,使用教材, 矩阵论教程国防工业出版社 2012,其他辅导类参考书(自选),课 程 要 求,作业要求,授课预计 (10学时),第八章 矩阵分析,矩阵的Kronecker积,函数矩阵的微分,函数矩阵的积分,矩阵微分方程的求解,教 学 内 容 和 基 本 要 求,2, 理解函数矩阵的微分与积分定义; 掌握数量值函数 与矩阵值函数关于矩阵变量的导数;,4, 了解一阶矩阵微分方程的一般形式和性质;掌握利用矩 阵函数求解此类微分方程的方法。,重点: 克罗内克积的概念;函数矩阵的微分;矩阵微分 方程求解。 难点: 数量值函数与矩阵值函数关于矩阵变量的导数,1,理解和掌握矩阵的克罗内克积的概念和性质;,3,理解和掌握函数矩阵的极限、连续性和积分的定义、性 质和计算;,从定义1和定义2可知,函数矩阵的极限其实就是其每个位置元素的极限和连续性。因此,不难验证与高等数学中函数的极限一样,函数矩阵的
2、极限具有如下性质。,函数矩阵的性质:,高等数学中函数的和、常数(常数矩阵)与函数矩阵的乘积、分部积分法、变上限函数、导数的积分法则适用于函数矩阵的积分,(1),(2),,,其中,,,,故有,从而有,证明:由,同样的不难得出,解答,下面求 。由伴随矩阵公式可得,所以,再求:,由于,练习2:已知函数矩阵,试求,解答:,同样可以求得,已知函数矩阵,试计算:,n个m维向量值函数,若存在n个不全不为零的实常数,使得对于所有ta,b,下述等式成立,,则称这n个向量值函数组成的向量值函数组是线性相关的,否则称它是线性无关的 。,从定义中我们可以看出,常数向量组线性无关性判别方法不能用来判断函数向量组。,n个m维向量值函数,若对任意i和j,下述积分都存在,,则称,为该向量值函数组的Gram(克兰姆)矩阵,detG称为该向量函数组的Gram(克兰姆)行列式。,Gram行列式detG0,即Gram矩阵可逆。,定理3 向量值函数组 线性无关,定理2给出了判断向量值函数组线性相关性的判定方法,如果根据定义3判断一组向量值函数组的线性相关性是很困难的。因为它需要判断该在区间上每一点函数组都是线性相关的。而定理2只要判定常数矩阵是否可逆就可以了。,例3 设 ,讨论其线性相关性。,故 时,detG0,解答:,于是其Gram矩阵为,线性无关,当函数组满足可积条件时,应用定理2判定函数向量组的线性无(相)关,十分方便。但函数的积分有时也是会遇到困难的。下面讨论用微分的方法判断函数向量组的线性相关性。,定义6 设 为区间a,b上的r维向量值函数组,记,为 在a,b上的Wronsky(朗斯基)矩阵。,则称,定理4 若存在 ,使,则行向量值函数组 在a,b上线性无关。,例4 讨论 的线性相关性。,解答:,Good,Bye,
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