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2-1 内积空间

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1、,哈尔滨工程大学理学院矩阵论教学团队,Department of Mathematics, College of Sciences,书后要求的习题,主动自觉做,抽查和不定时收取,使用教材, 矩阵论教程国防工业出版社 2012,其他辅导类参考书（自选）,课程要求,作业要求,矩阵论网站,授课预计 (10学时),第二章内积空间与赋范线性空间,内积空间,标准正交基与向量的正交化,正交子空间,向量范数,矩阵范数,向量范数与矩阵范数的相容性,教学内容和基本要求,2, 理解内积空间的标准正交基，会用施密特正交化方法构造标准正交基；,3, 理解正交子空间及其正交补的概念；,1，熟练掌握内积的计算方法，知道度量矩阵及其基本性质，理解内积空间的概念；,5, 理解谱半径的概念，掌握谱半径的相关性质；,重点：施密特正交化方法；正交子空间及其正交补；算子范数；相容性,难点：正交基及子空间的正交关系，算子范数及其与向量范数的相容性,教学内容和基本要求,4, 理解向量范数的概念；理解矩阵范数的概念，掌握算子范数，会求常用的算子范数，并掌握矩阵范数与向量范数的

2、相容性；,（对称性）,（数乘）,（可加性）,（正定性）,设V是数域F上线性空间, 如果V中每对向量x, y 按照某一对应法则都有唯一确定的数(x, y)F 与之对应，且满足,等号成立当且仅当,称为x与y的内积,内积空间，记做V(F)。,例1 为闭区间上的所有实连续函数,则对于上述内积构成一个欧氏空间.,所成线性空间，对于函数，定义,证明：,且若,则,从而,故,因此，为内积，为欧氏空间.,例2对任意的，定义内积,则是n维欧氏空间。,当且仅当时等号成立。,证明：,因为A是正定阵，所以,称为标准内积,不难验证共轭转置矩阵满足下列性质：,设，记，称为A的共轭；记，称为A共轭转置。,例4 在Cn中定义内积，则Cn是酉空间。,称为Cn中的标准内积,设,如果，那么称为Hermite矩阵；,如果，那么称为反Hermite矩阵。,其中,证明：,(2),(3),(1),推论设(x,y)是欧氏空间V的内积，则,在线性空间中,向量是可以由基来唯一的表示,如果定义了基向量之间的内积，那么任意两个向量间的内积可以计算如下：,设是酉空间V的基，则,那么x与y的内积为,内积在基下的矩阵(又称度量矩阵),例5 ,定义内积: 对欧氏空间 ,求内积在基 1, 下的矩阵.,解答:,由于A 是实对称阵,所以:,解答一,解答二,所以，f(x)，g(x)在基1, x-1, (x-1)2下的坐标分别为,在上例中，求与的内积。,定理2 酉空间中内积在基下的矩阵是正定的埃米特阵,证明：设，为酉空间中内积在基下的矩阵。,所以， AH=A。,推论欧氏空间中内积在基下的矩阵是正定的实对称阵。,证明: 设内积在基与基,的矩阵为和，且,由:,得,故,即,Good,Bye,

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