湖南省湘潭市2012届高三数学第四次模拟考试试卷 理 湘教版.doc

1、湖南省湘潭市2012届高三第四次模拟考试试卷数 学（理科）本试卷分第一卷（选择题、填空题）和第二卷（解答题）两部分，共150分，考试时量120分钟.第卷（选择题40分，填空题35分，共75分）注意事项：请将选择题、填空题答案填在第卷解答题前的答题卡内一选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合M=Z，若集合M有4个子集，则实数A1 B2 C3 D42一位母亲记录了儿子37岁时的身高，并根据记录数据求得身高（单位：）与年龄的回归模型为。若用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则下列叙述正确的是A身高一定是145B身高在145以上C身高在145左右D身高在145以下3阅读右边的流程图，若输入，则输出的结果是A6 B5 C4 D24己知，为平面上两个不共线的向量，：|+|=|-|；：，则是的A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件5在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是6已知是集合A到集合B的映射，若集合A中存在两个不同的实数

2、与集合B中的元素对应，则的取值范围是A B C D7已知定义在上的奇函数满足，且在上递增，记,，则的大小关系为A B C D8已知，直线l：与曲线C：有两个不同的交点，设直线l与曲线C围成的封闭区域为P，在区域M内随机取一点A，点A落在区域P内的概率为，若，则实数的取值范围为A B C D二填空题：本大题共8个小题，其中911小题为选做题，1216小题为必做题，每小题5分，满分35分，把答案填在答题卡中相应的位置上.（一）选做题（考生任选两题作答，三题都做，则按前面两题给分）9.若圆的极坐标方程为，则圆的半径r = 。第10题图10.如图所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，则DAC = 。11.若，则的最小值为 .（二）必做题12若，则= 。13由直线与曲线在x 0，2内所围成的封闭图形的面积为 。14将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”。下列四个命题：垂直于同一平面的两直线平行；垂直于同一平面的两平面平行；平行于同一直线的两直线平行；平行于同一平面的两直线平行。

3、其中是“可换命题”的是 。（填命题的序号）15.定义：，设数列满足 ，设Sn为数列的前项和，则Sn 1；（填“” 、“=”或“”）16.设A为椭圆（）上一点，点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，且AFBF，设ABF=。（1）|AB|= ；（2）若，则该椭圆离心率的取值范围为 。湖南省湘潭市2012届高三第四次模拟考试试卷数 学（理科）题号一二三总分合分人复分人171819202122得分得分评卷人复评人一选择题（本大题共8小题，每小题5，共40分）题号12345678答案得分评卷人复评人二、填空题（本大题共8小题，其中9，10，11任做两题，满分35分）（一）选做题（任选两题作答，若三题都做，则按前面两题给分） 9、 10、 11、 （二）必做题12、 13、 14、 15、 16、 ； 三解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）设函数（，）的部分图象如图所示，其中PQR为等腰直角三角形，PQR=，PR=1. 求：（1）函数的解析式；（2）函数在时的所有零点之和。DECBFA18.（本小题满分12分）如图，菱形ABCD

4、中，AE平面ABCD，CF平面ABCD，AB=AE=2，CF=3。 （1）求证：EF平面BDE； （2）求锐二面角E-BD-F的大小。19（本小题满分12分）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5，假设各盘比赛结果相互独立（1）求红队至少两名队员获胜的概率；（2）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望.20.（本小题满分13分）如图，灌溉渠的横截面是等腰梯形，底宽2米，边坡的长为米、倾角为锐角.（1）当且灌溉渠的横截面面积大于8平方米时，求的最小正整数值；x（2）当=2时，试求灌溉渠的横截面面积的最大值. 21.（本小题满分13分）设椭圆C1：的左.右焦点分别是F1、F2，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐标原点），如图，若抛物线C2：与轴的交点为B，且经过F1，F2点。（1）求椭圆C1的方程；xyOPQAMF1BF2N（2）设M（0，），N为抛物线C2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P.Q两点，求面积的最大值。22.（本小题满分13分）过点作曲线的切线

5、，切点为，过作轴的垂线交轴于点，又过作曲线C的切线，切点为，过作轴的垂线交轴于点，依次下去得到一系列点，设点的横坐标为。（1）求数列的通项公式；（2）求和；求证：。湖南省湘潭市四模理科数学参考答案及评分标准一选择题：BCDA BAAB二填空题：9. 1 ； 10. 30 ； 11. ； 12. 0 ； 13. 4 ； 14. ； 15. ；16.（1）；（2）， 。二解答题：17.解：（1）由已知，所以； 6分（2）由，得，故或（Z），所以当时的所有零点之和为。12分18.解：（1）连接AC.BD，设ACBD=O， ABCD为菱形，ACBD，以O为原点，OA，OB为x.y轴正向，z轴过O且平行于CF，建立空间直角坐标系，2分则， 4分，EFDE，EFBE，又DEBE=E，EF平面BDE； 6分（2）由知（1）是平面BDE的一个法向量，设是平面BDF的一个法向量，,由，得：，取x=3，得z=1，y=0，于是，10分，但二面角E-BD-F为锐二面角，故其大小为45。 12分19解：（1）设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，则分别表示甲不胜A.乙不胜B，丙不胜C的事件，因

6、为,，所以,，红队至少两人获胜的事件有：，由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率6分（2）由题意知可能的取值为0，1，2，3，又由（1）知是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此， ，由对立事件的概率公式得所以的分布列为：0123P0103504015因此12分20.解：由已知得等腰梯形的高为xsin，上底长为2+2xcos，从而横截面面积S=(2+2+2xcos)xsin=x2sincos+2xsin，3分（1）当时，面积是(0,+)上的增函数，当x=2时，S=38，当x=3时，S=，所以灌溉渠的横截面面积大于8平方米时，x的最小正整数值是3； 7分（2）当x=2时，S=4sincos+4sin，S=4cos2-4sin2+4cos=4(2cos2+cos-1)=4(2cos-1)(cos+1)，由S=0及是锐角，得，当00，S是增函数；当时，S0，S是减函数，所以当=时，S有最大值；综上所述，灌溉渠的横截面面积的最大值是. 13分21.解：（1）由题意可知B（0，-1），则A（0，-2），故b=2，令y=0得，即，则F1（-1，0），F2（1，0），故c=1，所以，故椭圆C1的方程为； 5分（2）设N（），由于知直线PQ的方程为：，即，代入椭圆方程整理，得， =， , ，故，设点M到直线PQ的距离为d，则，所以的面积S ，当时取等号，经检验此时，满足题意，综上可知的面积的最大值为。13分22.解：（1），若切点是，则切线方程为，1分当时，切线过点，即，因为，所以，2分当时，切线过点，即，依题意，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以； 4分（2）记，因为，所以， 5分两式相减，得 ， 7分； 9分（3）证法1： 13分证法2：当时， 10分假设时，结论成立，即，则，即时， 12分综上，对都成立 13分13用心

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