非圆曲线的逼近 讲解.pdf

1、 1 课程课程课程课程设计任务设计任务设计任务设计任务 用计算机高级编程语言 如VB VC 等 来实现非圆曲线的逼近 可任 选直线逼近 等间距法 等弦长法 等误差法等 或圆弧逼近 要求在满足 允许误差的前提下 使得逼近的直线段或圆弧段数的数量最少 即最优解 要求如下 1 列出一般的直线或圆弧逼近的算法 流程图 2 列出改进的直线或圆弧逼近的算法 流程图 即优化算法 比 较改进前与改进后的两种算法结果 3 针对任意给定的某一由非圆曲线所构成的平面轮廓 根据指定 的走刀方向 起刀点 自动生成 CNC 代码 4 在屏幕上显示该非圆曲线所构成的平面轮廓 软件设计过程软件设计过程软件设计过程软件设计过程 非圆曲线的逼近算法及程序设计非圆曲线的逼近算法及程序设计非圆曲线的逼近算法及程序设计非圆曲线的逼近算法及程序设计 1 1 1 1 等间距的直线逼近的节点等间距的直线逼近的节点等间距的直线逼近的节点等间距的直线逼近的节点算法算法算法算法 已知方程 y f x 根据给定的 x 求出 xi 将 xi代入 y f x 即可求得 一系列 yi xi yi 即为每个线段的终点坐标 并以该坐标值编制直线程序

2、段 x 的大小取决于曲线的曲率和允许误差 一般先取 x 0 1 试算 并校验 误差校验方法如下 如图 MN 为试算后的逼近线段 作 MN 2 平行于 MN 且两直线距离为 允 根据节点的坐标可求得 MN 方程 ax by c 0 则 ax by c 允 a 2 b 2 求解联立方程 允 ax by c a 2 b 2 y f x 如果无解 即没有交点 表示逼近误差小于 允 如果只有一个解 即等 距线与轮廓线相切 表示逼近误差等于 允 如果有两个或两个以上的解 表示逼近大于 允 这时应缩小等间距坐标的增量值 重新计算节点和验 算逼近误差 直至最大的逼近误差小于或等于 允 M N M N X X y f x Y X 图1 等间距逼近 3 算法 1 给定的 x 0 1求出xi 将xi代入y f x 即可求得一系列yi xi 2 求允许误差 3 If 精度值 0 001 a 是 if 达到终点 i 是 goto Step 4 ii 否 i i 1 goto Step 1 b 否 x 0 5 x goto Step1 4 End 非圆曲线非圆曲线非圆曲线非圆曲线数学处理数学处理数学处理数学处理的

3、一般的一般的一般的一般方法方法方法方法 数控系统一般只有直线和圆弧插补的功能 对于非圆曲线轮廓 只有用直线或圆 弧去逼近它 节点 就是逼近线段与非圆曲线的交点 一个已知曲线的节点数主要 取决于逼近线段的形状 直线段还是圆弧段 曲线方程的特性以及允许的逼近误差 将这三者利用数学关系求解 即可求得一系列的节点坐标 并按节点划分程序段 以 下简介常用的直线逼近及圆弧逼近的数学处理方法 2 2 2 2 1 1 1 1 常用非圆曲线直线逼近方法常用非圆曲线直线逼近方法常用非圆曲线直线逼近方法常用非圆曲线直线逼近方法 2 1 1 等间距的直线逼近的节点计算 这是一种最简单的算法 如图 2 1 所示 已知方程 xfy 根据给定的x 求出 i x 求 i x 代入 xfy 即可求得一系列 i y 即为每个线段的终点坐标 并以该坐标值 编制直线程序段 4 x x X Y N M M N xfy 图2 1 等间距逼近方法的原理图 x 取值的大小取决于曲线的曲率和允许误差 一般先取1 0 x试算并校验 误差校验方法如图2 1中的右图所示 MN为试算后的逼近线段 作 NM平行于MN 且两直线的距离为 允 根据

4、节点的坐标可求得 MN方程 0 cbyax 则 NM的方程为 22 bacbyax 允 求解联立方程 22 xfy ba cbyax 允 2 1 如果无解 即没有交点 表示逼近误差小于 允 如果只有一个解 即等间距与 轮廓线相切 表示逼近误差等于 允 如果有两个或两个以上的解 表示逼近误差大 于 允 这时应缩小等间距坐标的增量值 重新计算节点和验算逼近误差 直至最大 的逼近误差小于等于 允 等间距法计算简单 但由于取定值x 应保证曲线曲率最大处的逼近误差允许值 所以程序可能过多 用此种方法进行数学处理 它的逼近曲线与轮廓线的逼近误差参 差不齐 程序明显增多 影响机床的加工效率 不适合大批量的加工 成本也比较高 2 1 2 等弦长直线逼近的节点计算 就是使所有逼近线段的长度相等 如图2 2所示 计算步骤如下 5 X Y xfy A B C D l 允 图2 2 等弦长逼近方法的原理图 1 确定允许的弦长 由于曲线各处的曲率不等 等弦长逼近后 最大误差 max 必在 min R处 设为图中的CD段 则l为 允允 min 2 min 2 min 22 2RRRl 2 求 min R 曲线 x

5、fy 任一点的曲率半径为 y y 1R 3 22 2 2 取0 d dxR 即 0 1 3 22 yyyy 2 3 根据 xfy 求得 yyy 并由式 2 3 求得x值代入式 2 2 即得 min R 3 以曲线起点A为圆心 作半径为l的圆交 xfy 曲线于B点 联立求解 222 xfy lyyxx aa 得 BB yx 4 顺序以B C 圆心 重复步骤 3 即可求得其余各节点的坐标值 等弦长法对于曲线各处的曲率相差较大时 所求得的节点数过多 所以这种方法 宜用于曲率变化不大的曲线节点计算 2 1 3 等误差直线逼近的节点计算 要使得所有逼近线段的误差 都相等 如图2 3所示 需要如下得计算步骤 6 X Y xfy A B C D 允 P T 图2 3 等误差逼近方法的原理图 1 确定所有逼近线段的误差 允 的圆方程 即以起点 aa yxA圆心 允 为半 径作圆 允 22 aa yyxx 将方程写成 xcy 2 求与曲线的公切线PT的斜率k PTpT xxyyk 为了求得 PTPT yyxx 需求解联立方程 点的切线方程 曲线在 曲线方程 圆切线方程 允许圆方程 Txxfyy xfy

6、xxxcyy xcy PTPT TT PTPPT Pp 3 求弦长AB的方程 使AB弦的斜率为k 即使平行PT 则AB方程为 aa xxkyy 4 联立曲线方程和弦方程求得B点坐标 xfy aa xxkyy 5 按上述步骤顺序求得C D 各节点的坐标 对于曲率变化较大的曲线 用等误差法求得的节点数最少 但计算稍繁 2 1 4 圆弧逼近的节点计算 曲线用圆弧逼近有曲率圆法 三点圆法和相切圆法等方法 三点圆法是通过已知 7 四个节点分别作两个相切的圆 编出两个圆程序段 这两种方法都应先用直线逼近方 法求出各节点 再求出各圆 计算较繁琐 2 22 22 22 2 等误差法的关键点和难点等误差法的关键点和难点等误差法的关键点和难点等误差法的关键点和难点 从2 2 3节等误差法的介绍中我们可以了解到 手工编程将是非常复杂的一个过 程 它需要不断重复步骤 2 5 其难点就是如何求得 圆与任意的非圆曲线 的公切线PT 以及 直线与任意的非圆曲线 的交点B 如图2 4所示 这就用到 数值分析的知识 xfy A B 允 P T 图2 4 非圆曲线逼近方法的公切线和交点 求公切线的过程中 我们无法直接用计

7、算机求出它的公切线PT 从上图可以发 现在 当A点到直线PT距离为 允 时 误差圆与曲线 xfy 上总会有一点的切线满 足要求 这一点就是我们要求的切点T 为了求点到直线的距离 必须先求出曲线 xfy 上任意一点的斜率 在搜索的过程中满足A点到直线的距离为 允 时 则斜 率所在点的就是我们所要求的切点 这个斜率也是直线AB斜率 已知斜率和起点用 编程序来求交点 通过上述分析 我们可以得知 等误差法的关键点是 如何用数值分析的方法求 出斜率以及交点 8 基于数值分析方法的等误差逼近算法设计基于数值分析方法的等误差逼近算法设计基于数值分析方法的等误差逼近算法设计基于数值分析方法的等误差逼近算法设计 3 13 13 13 1 数值分析的概念数值分析的概念数值分析的概念数值分析的概念 数值分析 Numerical Analysis 的方法是有效使用数字计算机求数学问题近似解的 方法与过程 以及由有关理论所构成的学科 数值分析是一门实用性很强的学科 近年来随着计算机的发展和广泛应用 许多 计算领域的问题 如计算力学 计算物理 计算化学 计算经济学等新分支都可归结 为数值分析问题 数值分析研究有效

8、使用计算机数值求解各种数学问题 包括离散型方程的数值求 解和连续系统离散化的数值求解 在数值求解数学问题时 需要考虑误差 收敛性和 稳定性等问题 所谓关于给定计算问题的一个近似算法是收敛的 是指由该算法能产 生近似解的一个无穷集合 这个集合按某种选定的距离能逼近精确解到任意程度 即 对任给的 0 都能从该集合中找到与精确解的距离小于 的近似解 误差是指连 续系统离散化产生的方法误差 截断误差 和数值分析过程中产生的误差 舍入误差 稳定性是指在执行数值算法的过程中 舍入误差的积累不影响产生可靠结果 此外 还要研究算法的计算复杂性 计算量大小为时间复杂性 存储量大小为空间复杂性 以 及在使用计算机时 算法的自适应性 因此 误差 收敛性 稳定性 计算复杂性和 自适应性是数值分析的基本问题 刻画了数值分析方法的可靠性 准确性 效率以及 使用方便性 是数值分析必须研究的基本理论 3 2 3 2 3 2 3 2 圆与任意非圆曲线的公切线求解算法圆与任意非圆曲线的公切线求解算法圆与任意非圆曲线的公切线求解算法圆与任意非圆曲线的公切线求解算法 3 2 1 基于数值分析方法的公切线求解原理 由上一章可知

9、 等误差方法逼近非圆曲线的这一复杂的问题 可以转化为求取圆 与任意非圆曲线的公切线的切点的问题 以及求取直线与任意非圆曲线的交点的问 题 而求圆与任意非圆曲线的公切线的难点在于 在何种条件下直线是圆与非圆曲线 的公切线 如图 3 1 所示 对于非圆曲线上任意给定的一点 00 yx 公切线是指在点 00 yx误差圆与给定曲线 x fy 的公切线 它与误差圆的交点只有一个 如图 3 1 所示的直线 此时 2 lx 若 211 lllx 此时点 00 xxfxx 的切线为直线 它与误差圆没有交点 此时x 则要缩小 往前搜索 直线到x 满 足 2 lx 时为止 此时所求的直线就是我们要得到的公切线 点 11 yx就是所求的曲 线上的公切点 它与误差圆只有一个解 00 yx y x 11 公切点 x fy 非圆曲线方程 1 l 2 l 3 l 允 R X Y O 图3 1 求解公切线的原理图 那么用什么方法来判断直线与误差圆有多少个解呢 在第二章我们已经介绍了 用点到直线的距离 D 来判断 直线方程 ckxy 则点 00 yx到直线的距离 2 00 1k cykx D 当 D 等于圆的半径 允

10、时 则直线与圆只有一个解 要想求距离 D 则必须先求斜 率 K 3 2 2 基于数值分析方法求曲线上任意一点的导数 10 1 导数的几何意义 由高等数学 上 1 我们知道 函数 xfy 在点 0 x处的导数 0 xf在几何上表 示曲线 xfy 在点 00 xfxM处的切线的斜率 即 tan 0 xf 其中 是切线的倾角 图3 2 如果 xfy 在点 0 x处的导数为无穷大 这时曲线 xfy 的割线以垂直于x轴 的直线 0 xx 为极限位置 即曲线 xfy 在点 00 xfxM处具有垂直于x轴的切 线 0 xx 根据导数的几何意义并应用直线的点斜式方程 可知曲线 xfy 在点 00 yxM 处的切线方程为 000 xxxfyy xfy T x y M 0 x0 图3 2 求曲线斜率的差分图 2 导数的求法 导数的求法有很多种 在本次课程设计中 同学可用以下的方法求导数 R xx n x f xx x f xx x f x f x f Tylorx x f n n i i n i i iii i L h R h n x f h x f h x f h x f x f x f hxxx x

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