精编制作不确定度分析和误差原理PPT课件

1、 数据处理 误差及不确定度分析 马元明 目 录 n误差原理与分析计算 误差原理 误差传递 平均值原理 异常数据剔除 n不确定度原理与分析计算 不确定度原理 不确定度的合成 不确定度合成例题 n回归分析 直线回归 其他回归 n量热误差分析 误差原理与分析计算 误差原理 误差传递 平均值原理 异常数据剔除 绝对误差 n测量绝对误差 测量值 真值 n示值误差 仪器示值 真值 n真值是指被测量的客观真实值 一般都是未知的 仅特殊场合已知和最高基准可看作真值 n数据处理统计中将平行测量的期望值作为统计量 的拟定真值 可证明当测量次数无限大时 子样 的统计量是总体的统计量的无偏估计 相对误差 n绝对误差与测量值 相差小时用绝对误 差 相差大时用相 对误差 n引用误差的规定是 用于仪器精度的评 定 误差的普遍意义和关系 n测量误差是不可避 免的 只要误差在 一定范围内就认为 是正常的 n减小误差影响 提 高测量精度 n对测量结果作出可 靠性评定 即给出 精确度的估计 定义量纲 相对误 差 绝对误差 真值 无反应测量 效果 绝对误 差 测量值 真值 与被测 量相同 结果的实 际误差值 误差分类 n系统

2、误差 其值固定不变或按某种确定规 律变化的误差 可重复表现 但规律性并 不一定确知 n随机误差 有正有负 不可预知 具有随 机变量的一切特征 可用统计方法做出估 计 不能 修正 消除 n粗大误差 超出正常范围的随机大误差 在数据中应该去除 统计量和估计量 设总体以随机变量 表示 容量为n的子样以随 机变量 1 2 n 表示 现作子样的实值函数 T T 1 2 n 则 T 1 2 n 也为一随机变量 称T的统计量 为了估计总体 某一参数 由子样 1 2 n 建立不带未知数的某一统计量T 1 2 n 当获 得子样的某一具体观测值 l1 l2 ln 时 算出统计 量的值T l1 l2 ln t 可作为 估计值 则称T 1 2 n 为 的估计值 估计量的评价 n无偏性 设t为未知数参数 的估计量 若 E t 则t为 的 无偏估计量 表明估计量t的 波动中心为 此时只有随机误 差 无系统误差 n有效性 分散性用 E t 2 衡量 E t 2 D t 表明 无偏估计以方差 较小为好 即较 为有效 n一致性 估计量t依概 率收敛于 则称t为 的一 致估计量 区间估计 n对于未知数 除了要求它的点估计

3、t外 还常常 需要以一定的可靠程度估计出包含真值的某个区 间 以及包含真值的概率 n参数 若有P t1 t2 1 a为置信概率 t1 t2 为 在置信度P上的置信区间 说明 有P的概率落在 t1 t2 范围内 置信区间的上下限常取为对称的 n区间估计有明确的可靠性含义 n置信度的大小应根据具体问题给 出 一般取90 或95 随机误差特征 n正态分 布概率 密度 n正态分 布概率 图 n对称性 n有界性 n抵偿性 n 对f x 的影响 n平均分布 n反正弦分布 n截尾正态分布 n三角分布 三种分布的标准差以及各置信区间 相应的概率 分布标准差 P P 2 P 3 正态分布 or 仪器 3 0 6830 9550 997 三角分布 or 仪器 6 1 2 0 7580 9661 均匀分布 or 仪器 3 1 2 0 57711 随机误差特征 n期望值E x n误差的分布中心 nE C C nE x1 x2 E x1 E x2 nE C x C E x nE x1 x2 E x1 E x2 相互独立 协方差为0 n方差D x n随机波动大小 nD C 0 nD C C2 D nD 1 2 D

4、 1 D 2 D 1 2 系统误差检验方法 n通过实验对比 高精度和等精度 n通过理论分析判断 模型简化 n对测量数据的直接判断 线性和周期 n用统计方法进行判断 数据数目少时可靠性差 只能对系统误差存在判断 不能给出数值 误差传递 误差传递 n传递系数 f xi按测量值计算 n优点 线性传递 计算简单 n缺点 当展开式高次项不可忽略时 应该按 照定义式计算 误差传递 n当以相对误差表示各误差分量时 其传递关系为 n测量结果总误差等于各原始误差乘以传递系数的代 数和 线性叠加法则 n误差作用独立性 一个误差结果对其他误差因素无 关 它们构成总误差的独立部分 n可用于已知系统误差的分析计算 n建立不确定度合成法则基本依据 精度分析基础 传递系数的计算 n微分法求传递系数 n几何发求传递系数 可通过几何运算和解析 几何计算转化为微分法 n按传动关系确定传递系数 已知一个方向的 传递系数或总的传递系数 求其中一个 用于y f x 测量y求x的传递系数的情况 n计算说明定义法和线性叠加法则的误差大小 差别 例题 R1 R2 Vs V 算术平均值原理 对同一量进行多次等精度重复测量而得到的数据的

5、处 理 等精度 指各次测量的标准差 相同 并不是有相 同的误差 等精度多次重复测量结果xi的算术平均值作为被测量 的估计量 具有一致性 无偏性和最优性 算术平均值的误差 线性和 分布相同 等精度测量数据的残差和性质 n残差 测量值 算术平均值 n性质1 残差代数和为0 n性质2 残差平方和最小 与最小二乘法一致 算术平均值的标准差 对X进行n此重复测量 视各数据为独立随机变量 测量标准差可按残差估计标准差的贝塞尔公式估计 加权平均值原理 对某一量进行多次测量 每次的精度不同 可信度不同 采用加权平均值计算 权 表示该数据相对其他数据的可信程度 权的确定 一般化为最可约数字 单位权及单位标准差 n若某一数据xk的权p 1 则pk称为单位权 而xk的 标准差sk称为单位权标准 差 记为s0 n将各残差vi分别乘以各自 的权平方根 得加权残差 按加权残差计算的为单 位权标准差 加权算术平均值的精度估计 加权算术平均值的精度估计 两个计算值一般不同 主要由系统误差引起 一般后面的计算比较准确 特别是数据较多 时 不能指望通过平均值减少所有的系统误差 其标准差也不能全面地反映系统误差的影响 例题

6、 n根据文献报道 真空中光速及其标准差如下 i12345678 Ci km 29979 2 3 29979 2 5 29979 3 1 29979 4 2 29979 2 6 29978 9 8 29979 3 0 29979 5 1 Si km 2 41 00 31 90 73 00 33 1 n解 取各测量数据的权为 pi 1 si2 i 1 2 n 计算加权平均值为 piCi pi 299792 99 异常数据的剔除 I 一 莱以特准则 n次等精度测量 若某一数据的残差满足下列 条件即为含粗大误差 应剔除 n局限性 测量数据较少时可靠性差 特别是当采 用贝塞尔公式计算标准差时 若nr0 n a 即为含粗大误差 应剔除 当剔除一个数据后 其余应再次计算统 计量 检验可以数据 优点 计算简便 有较好的使用效果 不确定度原理与分析计算 不确定度原理 不确定度的合成 不确定度合成例题 不确定概念 n在多次重复测量中 可看出测量数据结果将在某一范围内波 动 从而展示了这种不确定性 测量结果可能的取值范围越 小 测量结果的可靠性越高 n测量的不确定度表示由于测量中存在误差而使被测量值不能 肯

7、定的程度 它的大小表征测量结果的可信程度 它是表征 误差对测量结果影响程度的参数 某一确定的测量方法具有 确定的不确定度值 n表示测量结果的分散性 表征被测量的真值所处量值范围的 评定 n不确定度不是真误差 是以参数形式定量表示无法修正的那 部分误差的范围 表征合理赋予的被测量值的分散性参数 表示以测量结果为中心的变化 n按是否用统计方法求得 分为A类和B类 都是标准不确定 度 不确定的表征参数 n方差D或标准差S可作为测量不确定性的表征参数 反映了测量结果可能取值的分散程度 D或S小 时 误差分布线高而窄 表明测量结果取值不确 定的程度小而精度高 n实践中S常称为不确定度 用u表示 u S n也可用扩展不确定度U表示 U k u k称为包含因子 是相对于置信概率P的置信系 数 置信概率P为测量数据包含于区间 ku ku 的概 率 不确定的表征参数 n当u值可信度较高时 由选定的P值按正态分布确 定k值 当被测量服从正态分布时 n当u值可信度较低时 由小子样获得u 则应按t 分布确定k值 n不确定度也可以以相对量的形式给出 ux x Ux x n不确定度的合成结果不仅与各分量的不确定度

8、有 关 而且与误差间的相关性有关 n自由度指所给方差 标准差 的估计量中所含独 立变量的个数 自由度越大 所给估计方差越可 靠 当按t分布计算时 自由度必须涉及 统计方法估计不确定度 I n一 矩法 n估计的有偏性 n由上可得 为无偏估计量 因此取 标准差为 有偏估计 开放后产生 系统误差 统计方法估计不确定度 II n二 赛贝尔公式 有偏估计 有系统误差 其值偏小 无偏形式修 正如下 1 Mn为修正系数 对于正态分布情形 其值见表 统计方法估计不确定度 II n由修正结果系数看 有偏性只有在测量数据较少 时才有较明显 由此造成的影响可用估计量S的 标准差Ss来评定 n很小时 所得的估计量S的分散性较大 但n增 大时 这一分散性减小 统计方法估计不确定度 III n三 极差法 n标准差估计 对于正态分布 dn值见表 n测量数据较少 时 极差法给 出的结果为标 准差的无偏估 计 精度比贝 塞尔公式给出 的结果略高一 些 统计方法估计不确定度 IV n四 最大误差法 无偏估计 特别地可用于一次实验数据 n 1234567891015202530 1 Kn 1 2 5 0 8 8 0 7 5

9、 0 6 8 0 6 4 0 6 1 0 5 8 0 5 6 0 5 5 0 5 3 0 4 9 0 4 6 0 4 4 0 4 3 1 Kn 1 7 7 1 0 2 0 8 3 0 7 4 0 6 8 0 6 4 0 6 1 0 5 9 0 5 7 0 5 1 0 4 8 0 4 6 0 4 4 统计方法估计不确定度 V n五 别捷尔斯公式 无偏估计 精度与贝塞尔公式相近 标准差不确定度合成 n各误差分量相应的不确定度合成测量结果的总不确定度时 不应按线性关系 叠加 而是采用方差求和的方法 并且还考虑到各误差分量的相关关系 测量结果的总误差为各项原始误差的线性和 根据随机变量方差性质 其线性和方差为 标准差不确定度合成 n相关项R反映了各项误差间的线性关联对标准差合成的影响 误差具有 正相关关系时 其相互间的抵偿性减弱 此时 误差间的相关系数为正 值 合成的总标准差偏大 反之 误差间具有负相关关系时 抵偿性增 强 合成总标准差偏小 n当误差间具有最强的正相关关系时 相关系数为1 合成的标准差最大 若各项误差间均满足这一条件 即 kl 1 则关系式可化简为 n当误差间互不相关时 相关系

10、数 kl 0 此时标 准差可化简为 标准差不确定度合成 n实际中 以子样的标准差代替总样的标准差 且各误 差间互不相关的情形是常能得到满足或近似满足的 因此 n系统分量的误差也用类似于随机误差的标准不确定度 表示 且一般认为不确定系统误差与随机误差是不相 关的 则合成的标准不确定度应为 n当系统误差相关项和随机误差相关项都为0时 标准差不确定度合成 可见 对于不确定度合成中的系 数既是误差传递中的传递系数 扩展不确定度合成 n由上述扩展不确定度与标准不确定度关系得 在扩展不确定合成中 只要将扩展不确定度除以各自的置信系数后 按照标准不确定度合成 最后标准不确定度再乘以总的置信系数就可得总的扩展不确定度 这样可以避免扩展不确定的公式计算 n实际中 多数误差因素服从正态分布 非正态分布误差因素比重较小 此时总误差接近正态分布 k值按正态分布取 当各个误差和总误 差都取相同的正态分布置信度时可以得到扩展不确定度的合成公式与 标准不确定度的公式相同 特殊地 当rkl 0时 n对于不确定的系统误差 其扩展不确定的合成可直接用 方和根 法 n对于单次测量结果 当测量误差服从正态分布 且互不相关时

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