人教A版2020年高考数学（理）一轮复习《等差数列及其前n项和》(课件+课时作业)

1、第2节 等差数列及其前n项和,最新考纲 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系.,1.等差数列的概念 (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于_，那么这个数列就叫做等差数列. 数学语言表达式：an1and(nN*，d为常数).,知 识 梳 理,同一个常数,2.等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an_. 通项公式的推广：anam_(m，nN*). (2)等差数列的前n项和公式,a1(n1)d,(nm)d,3.等差数列的有关性质 已知数列an是等差数列，Sn是an的前n项和. (1)若mnpq(m，n，p，qN*)，则有amanapaq. (2)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为_的等差数列. (3)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列. (4)数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B为常数). 4.等差数列的前n项和的最

2、值 在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最_值；若a10，d0，则Sn存在最_值.,md,大,小,常用结论与微点提醒 1.已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列，且公差为p. 2.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了an1and(n2)时，应注意验证a2a1是否等于d，若a2a1d，则数列an不为等差数列. 3.等差数列an的单调性：当d0时，an是递增数列；当d0时，an是递减数列；当d0时，an是常数列.,1.思考辨析(在括号内打“”或“”) (1)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.( ) (2)等差数列an的单调性是由公差d决定的.( ) (3)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.( ) (4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( ) 解析 (3)若公差d0，则通项公式不是n的一次函数. (4)若公差d0，则前n项和不是二次函数. 答案 (1) (2) (3) (4),诊 断 自 测,2.在等差数列an中，若a24，a42，则a6等于( ) A.1 B.

3、0 C.1 D.6 解析 由等差数列的性质，得a62a4a22240. 答案 B,3.(2016全国卷)已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100( ) A.100 B.99 C.98 D.97,答案 C,4.在等差数列an中，a17，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n8时Sn取得最大值，则d的取值范围为_.,5.(必修5P68A8改编)在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8_. 解析 由等差数列的性质，得a3a4a5a6a75a5450，a590，a2a82a5180. 答案 180,考点一 等差数列基本量的运算,(2)设an的公差为d，首项为a1，,解得d4. 答案 (1)C (2)C,规律方法 1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题. 2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.,(2)法一 设数列an的首项为a1，公差为d，,答案 (1)B (2)30,法二 由an为等差数列，

4、故可设前n项和SnAn2Bn，,(1)证明 当n2时，由an2SnSn10，,【迁移探究1】 本例条件不变，判断数列an是否为等差数列，并说明理由. 解 因为anSnSn1(n2)，an2SnSn10， 所以SnSn12SnSn10(n2).,所以当n2时，an1an的值不是一个与n无关的常数，故数列an不是一个等差数列.,(1)证明 当n2时，anSnSn1且Sn(Snan)2an0. SnSn(SnSn1)2(SnSn1)0， 即SnSn12(SnSn1)0.,当n1时，a12不适合上式，,规律方法 等差数列的证明方法： (1)定义法：对于n2的任意自然数，验证anan1为同一常数. (2)等差中项法：验证2an1anan2(n3，nN*)都成立.,考点三 等差数列的性质及应用 【例3】 (1)(2018贵阳质检)等差数列an的前n项和为Sn，且a3a916，则S11( ) A.88 B.48 C.96 D.176 (2)设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9等于( ) A.63 B.45 C.36 D.27,(2)由an是等差数列，得S3，S6S3，S

5、9S6为等差数列. 即2(S6S3)S3(S9S6)， 得到S9S62S63S345. 答案 (1)A (2)B,规律方法 等差数列的常用性质和结论 (1)在等差数列an中，若mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则amanapaq2ak. (2)在等差数列an中，数列 Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列.,解析 (1)因为a1a2a334，an2an1an146， a1a2a3an2an1an34146180， 又因为a1ana2an1a3an2， 所以3(a1an)180，从而a1an60，,(2)因为an，bn为等差数列，,考点四 等差数列前n项和及其最值 【例4】 (1)(一题多解)等差数列an的前n项和为Sn，已知a113，S3S11，当Sn最大时，n的值是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 (2)设数列an的通项公式为an2n10(nN*)，则|a1|a2|a15|_.,解析 (1)法一 由S3S11，得a4a5a110，根据等差数列的性质，可得a7a80.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a70，a80，故n7时Sn最大. 法二 由S3S11，可得

6、3a13d11a155d，把a113代入，得d2，故Sn13nn(n1)n214n.根据二次函数的性质，知当n7时Sn最大.,(2)由an2n10(nN*)知an是以8为首项，2为公差的等差数列，又由an2n100得n5，n5时，an0，当n5时，an0，|a1|a2|a15|(a1a2a3a4)(a5a6a15)20110130. 答案 (1)C (2)130,规律方法 求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项； (2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值； (3)将等差数列的前n项和SnAn2Bn(A，B为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值.,【训练3】 (1)设数列an是公差d0的等差数列，Sn为其前n项和，若S65a110d，则Sn取最大值时，n的值为( ) A.5 B.6 C.5或6 D.11 (2)已知等差数列an的首项a120，公差d2，则前n项和Sn的最大值为_.,解析 (1)由题意得S66a115d5a110d，所以a60，故当n5或6时，Sn最大. (2)因为等差数列an的首项a120，公差d2，,又因为nN*，所以n10或n11时，Sn取得最大值，最大值为110. 答案 (1)C (2)110,

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