代数式的变形竞赛题
9页1、代数式的变形竞赛题88Y-W8BBGB-BWYTT-19998Company Document number: WT代数式的变形(整式与分式)在化简、求值、证明恒等式(不等式)、解方程(不等式)的过程中,常需将代数式变形,现结合实例对代数式的基本变形,如配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等方法作初步介绍.1配方在实数范围内,配方的目的就是为了发现题中的隐含条件,以便利用实数 的性质来解题.例1设a、b、c、d都是整数,且m二a2+b2,n二c2+d2,mn也可以表示成两个整 数的平方和,其形式是.解 mn=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2c2-2abcd=(ac+bd)2+(ad-bc)2=(ac-bd)2+(ad+bc)2,所以,mn 的形式为(ac+bd)2+(ad-bc)2或(ac-bd) 2+(ad+bc)2.例 2 设 X、y、z 为实数,且(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2.徒+ 1)(琢+ 1)(砂+ 1)求口+1十1膚7的值.解 将条件化简成2x2+2y
2、2+2z2-2xy-2x2-2yz=0 (x-y)2+(x_z)2+(y-z)2=0x=y=z,.原式=1.2.因式分解前面已介绍过因式分解的各种典型方法,下面再举几个应用方面的例子.2云-対 + 2J -Ef例3如果a是x2-3x+1=0的根,试求/+1的值.解Ta为x2-3x+1=0的根,a2-3a+l=0,且+ 1 =1说明:这里只对所求式分子进行因式分解, 避免了解方程和复杂的计算.3.换元换元使复杂的问题变得简洁明了.例4设a+b+c=3m,求证:(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0.证明 令 p=m-a,q=m-b,r=m-c 则p+q+r=0.P3+q3+r3-3pqr=(p+q+r)(p2+q2+r2-pq-qr-rp)=0 p3+q3+r33pqr=0即 (m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0567S901234678901234556789012356789012347,试比较A、B的大小.T2x y2xy 0,又 y 0,可知+ 2AB.4.设参当已知条件以连比的形式出现时,可引进一
3、个比例系数来表示这个连比.X _ H _ 広例 6 若口 一色 A c e 求 x+y+z 的值.解 令 a h b c e a则有 x=k(a-b), y=(b-c)k z=(c-a)k, x+y+z=(ab)k+(bc)k+(ca)k=O.例7已知a、b、c为非负实数,且 a2+b2+c2=1,a2ka3+b2kb3+c2kc3=3abc, (a2+b2+c2)k+3abc=a3+b3+c3. a2+b2+c2=l, k=a3+b3+c33abc =(a+b)33a2b3ab2+c33abc =(a+b+c)(a+b)2+c2(a+b)c3ab(a+b+c), =(a+b+c)(a2+b2+c2abbcca), k=k(a2+b2+c2abbcac), k(a2+b2+c2abbcca1)=0, k(abbcac)=0.若 K=0, 就是 a+b+c=0.若-ab-bc-ac=O,即 (a+b+c)2(a2+b2+c2)=0,(a+b+c)2=1, a+b+c=1综上知 a+b+c=0 或 a+b+c=15.“拆”、“并”和通分下面重点介绍分式的变形:(1)分离分式 为了讨论某些用
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