九年级数学下册 5.5 用二次函数解决问题 二次函数的应用 如何获取更多的利润素材 （新版）苏科版

1、如何获取更多的利润 例1 某商场以每件45元的价钱购进一种服装，根据试销得知，这种服装每天的销量T(件)与每件的销售价x(元/件)可以看报是一次函数：T3x207(45x69) (1)写出该商场卖这种服装每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系式(每天的销售利润是指卖出服装的销售价与购过价的差)。 (2)通过对所得出函数关系式配方，指出商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适？最大销售利润是多少？ 分析：每天总销售价为Tx，即(3x207)x，每天销售的T件服装的进价为45T，即45(3x207)，而总销售价与总进价的差值即为所获得的利润，而对于第(2)小题应将已得的二次函数配方，画出其函数图像，结合其自变量的取值范围确定最佳售价。 解：(1)由题意得： Y(3x207)x45(3x207) (3x207)(x45)(45x69) (2)由(1)知 y(3x207)( x45) 3(x2114x3105) 3(57)2 432(45x69) 由图像知开口向下，存在最大值，且455769。当x57时 Ymax432亲爱的同学，若请你帮该商场决策，你知道每件售价是

2、多少最为合适吗？评述：本题显然是一道在实际生活中可以碰得到的实际问题，而且也确实可以使用我们学过的知识提供一定程度的参考，不过本题可以作一些延伸： 1本题为什么每件商品的售价被限定在45元与69元之间呢？ 2该服装的售价可以超过69元吗？ 3该函数的图像还可以向两端延伸吗？ 例2 共产品每件的成本价是120元，试销阶段中每件产品的销售价x(元)与产品的月销售量y(件)之间的关系如下表：x(元)130150165y(件)705035 若月销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售应为多少元？此时每日的销售利润是多少？ (销售利润销售价成本价) 分析：从传统的函数应用题拓展到有关营销决策、统计评估、生产、生活等时代气息浓厚的应用问题，形式多样，涉及的知识点比较广，且须注意知识的有机的融合，是近几年中考函数类应用性试题出现的变化和特点。该题涉及一次函数、二次函数。建立二次函数需要领会题意，并在此基础上求函数的最值。以销售为数学模型的函数应用题，既考查了学生的知识，又考查了学生的能力。 “销售利润销售价成本价”这是题目给出的式子，因此每件产品的销售利润与销售价、成本价有关

3、。每日的销售利润应是每日销售量y(件)与每件产品销售利润的积。这是解决此题的关键，也是营销问题中的常识。 以表格形式给出了x(元)与y(件)的对应关系，并进而指出销售量y是销售价x的一次函数，为用待定系数法求解析式提供了可行性与新颖性。 在分析与综合的基础上，每日的销售利润应是y(x的一次函数)与每件产品销售利润(x的一次函数)的积，实质为x的二次函数，于是求函数的最值，就是求日最大利润的问题了。 在实际问题中自变量的取值范围必须符合题意。例如，销售价x元一般不能低于成本价，否则要亏本，更无从谈利润；销售量只能是非负数等。 解：设ykxb，当x130时，y70；当x150时，y50，得方程组：解得： yx200 设每日销售利润为Z元，每件产品的销售利润是(x120)元，于是当时， 即当每件产品的销售价定为160元时，每日的销售利润最大，最大利润为1600元。 例3 某剧院设有1000个座位，门票每张3元可达客满，据长期的营业进行市场估计，若每张票价提高x元，将有200x张门票不能售出。 (1)求提价后每场电影的票房收入y(元)与票价提高量x(元)之间的函数关系式和自变量x的取值范围。

4、(2)若你是经理，你认为电影院应该怎样决策(提价还是不提价)，若提价，提价多少为宜？ 分析：若提价x元后，则每张票价变为(x3)元，出售的门票总数为：(1000200x)张，则票房的收入变为：(x3)(1000200x)。 至于电影院到底应该怎样决策，显然票房的收入y是提高的价x的二次函数，可以对其进行配方，进而求出最高的提价。 解：(1)由题意知： 又 x的取值范围是： (2) 又当时，。 电影院应每张门票提价1元为宜。 接下来我们再来看一看1998年河北省的一道中考题。亲爱的同学，你能试着顺利地完成它吗？ 例4 某工厂现有甲种原料360千克、乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件。已知生产一件A种产品，需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元。 (1)按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你给设计出来。 (2)设生产A、B两种产品获总利润为y(元)，其中一种的生产件数为x，试写出y与x元间的函数关系式，并利用函数的性质说出(1)中哪种生产方案获总利润最大？

5、最大利润是多少？ 分析：本题是生产经营决策问题。在市场经济竞争十分激烈的今天，帮助学生学会比较，学会挥优决策，是素质教育的要求，也是近年中考的热门题型。本题所涉及的知识点有：不等式(组)、一次函数。解决这类问题的关键是，建立相应的数学模型。 (1)A、B两种产品的生产件数，受总件数50和所需两种原料库存量的制约。所以可由此得出不等组，从而确立A、B两种产品生产件数的范围，通过进一步讨论可选择其生产方案。 (2)列出总利润与产品生产数量之间的函数关系，根据函数的增减性质，就可以解决本题。 解：(1)设安排生产A种产品。件，则生产B件产品(50x)件。依题意，得 解之，得 x为整数，x只能取30，31，32。 相应的(50x)的组为20，19，18。 所以生产的方案有三种： 第一种：生产A种产品30件，B种产品20件； 第二种：生产A种产品31件，B种产品19件； 第三种：生产A种产品32件，B种产品18件。 (2)设生产A种产品件数为x，则生产B种产品的件数为50x。 依题意，得 其中x只能取30 、31、32， 此一次函数中y随x的增大而减小。当x30时，y的值最大。 故按第一种方案安

6、排生产，获总利润最大，最大利润为：500306000045000元。 例5 某工厂计划出售一种产品，固定成本为2000000元，球台生产成本为3000元，销售收入为5000元。求总产量x对总成本Q、单位成本P、销售收入R以及利润L的函数关系，并作出简要分析。 解：总成本与总产量的关系 Q20000003000x， 单位成本与总产量的关系 销售收入与总产量的关系：R5000x。 利润与总产量的关系。 分析：从利润关系式可见，欲求较大的利润，应增加产量(在不考虑销售的情况下)，若x1000，则要亏损；若x1000，则利润为零；若x1000，则可盈利。这一点也可以从上面的图像中看出，两条直线的交点就是平衡点。 从单位成本与总产量呈反比例的关系可见，为了降低成本，应增加产量，这样才能降低成本，形成规模效益。例6 今拟建一排4门的猪舍(如图)，由于材料的限制，围墙和墙的总长度只能造p米，问x为多少时，猪舍面积最大？当米时，猪舍面积最大。答：米时，猪舍面积最大。说明：本题列式的关键，在于找出长方形的长和宽。对于求极值，是否采用配方法，则可以根据自己的习惯，本题所用的配方法是解决此类问题的通法。 现

7、代生活中，信息显得十分重要，而报纸作为大众传媒的一种，是一种传递信息的重要载体。正因如此，我们很多人都有抽空着报纸的习惯。下面我们就来研究一下报摊卖报的问题，请你帮助业主设计一下最佳办法。 例7 某市一家报摊从报社买进晚报的价格是每份0.12元，卖出的价格是每份0.20元，卖不掉的以每份0.04元退回报社，在一个月(30天)里，有20天每天可销售400份，其余的10天仅售250份。但每天从报社买的份数必须相同，他应每天从报社购多少份，才能使每月所获利润最大？最大利润是多少？ 分析：本题应通过“售报收入”减去“退报亏损”构造等式，从而解决问题。 解：设每天从报社购进x份()，每月售出(20x10250)份，退回10(x250)份，由于卖出获利，退回亏损均为0.08元，则 y0.08(202500) 0.08(x250)100.8400 这显然是一个k0的一次函数，函数值y随着自变量x的增大而增大的，所以当x400时， ymax720(元)。 答：应每天从报社购400份，才能使每月获利润最大，最大利润是720元。 说明：此题是一道十分典型的应用题。它适用于卖报、卖书、卖书刊。随着数字的变化

8、，可编撰成一道道试题。但是解法却是不变的，应注意此题的解法。 例8 某房地产公司要在荒地ABCDE(如图)上画出一块长方形地面(不改变方向)，建造一幢8层楼公寓。问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积(精确到 1m2)。 分析：在线段AB上任取一点P，分别向CD、DE作垂线，即可保持原来方位，画得一块长方形土地。显然，土地面积决定于P在AB上的位置。 解：建立如图所示的坐标系，则AB的方程为过A(0，20)、B(30，0)则的一条直线。设直线 AB的方程为y kab则又因为A、B两点在直线上，。由于P点在直线上，故可得P点的坐标为( P点坐标满足函数的解析式)，则长方形的面积为：化简得：对函数的解析式进行配方得当时，。 说明：由此题可见，公寓占地面积与楼房层数无关，并非所有信息都是有用的，这也是应用题与通常题目的一个重要区别。 例9 某房屋开发公司用100万元购得一块土地，该地可以建造每层1000平方米的楼房，楼房的总建筑费用与建筑高度有关，楼房升高一层，整幢楼房每平方米建筑费用平均提高5，已知建筑5层楼时，每平方米的建筑费用为400元，为了使该楼每平方米的平均综合费用最省(建筑费用与购地费用之和)，公司应把楼建成几层？ 解：设该楼建成x层，则根据题意得每平方米的购地费用为：(元) 每平方米的建筑费用为：400400(x5)5(元)，所以每平方米的平均综合费用为：即得含费用最少为 可见公司应该把楼房建成7层。 上面的例子是关于建造楼房的问题，在生活中，安居工程确实是老百姓比较关心的问题之一。这一点就是生活在校园内的同学们也有所耳闻。有多少家梦想住人宽广静适的套房啊！下面我们就来研究一下一道关于单位职工住房公积金的问题。 例10 某单位决定位公房的职工必须按基本工资高低交纳建房公积金，办法如下：每月工资数公积金100元以下不交纳100200元交纳超过100元部分的5200300元100200元部分交纳5，200

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