控制系统的数学模例题精解
39页1、控制系统的数学模型,例题精解,例题精解例2.1 弹簧阻尼器串并联系统如图2.2所示,系统为无质量模型,试建立系 统的运动方程。,解: (1)设输入为 ,输出为 ,弹簧与阻尼器并联平行移动。 (2)列写原始方程式。由于无质量,按受力平衡方程,各受力点任何时刻均满足F=0,则对于A点有,其中,F阻尼摩擦力;FK1,FK2为弹性恢复力。,(3)写中间变量关系式,(4)消中间变量得,(5)化标准型,式中,,为时间常数,单位(秒);,为传递,系数,无量纲。,例2.2 已知单摆系统的运动如图2.2所示。(1)写出运动方程式;(2)求取线性化方程。,解:(1)设输入外作用力为零,输出为摆 角,摆球质量为m。 (2)由牛顿定律写原始方程,式中, l 为摆长; l 运动弧长;h为空气阻力。(3)写中间变量关系式,式中,为空气阻力系数;,为运动线速度。,(4)消中间变量得运动方程式,此方程为二阶非线性齐次方程。(5)线性化。在=0附近,非线性函数sin ,故代入上式可得线性化方程为,例2.3 已知机械旋转系统如图2.3所示,试列出系统运动方程。,解:(1)设输入量为作用力矩M,输出为旋转角速度。 (2)列
2、写运动方程式,式中,f为阻尼力矩,其大小与转速成正比。 (3)整理成标准形为,此为一阶线性微分方程,若输出变量改为,则由于=,代入方程得,二阶线性微分方程式,例2.4 设有一个倒立摆安装在马达传动车上,如图2.4所示。倒立摆不是稳定的,如果没有适当的控制力作用在它上面,它将随时可能向任何方向倾倒。这里只考虑二维问题,即认为倒立摆只在图2.5所示平面内运动。控制力u作用于小车上。假设摆杆的重心位于其几何中心A。试求该系统的运动方程式。 解:(1)设输入作用力为u,输出为摆角。 (2)写原始方程式。设摆杆中心A的坐标为 ,于是,画出系统隔离体受力图如图2.5所示。,式中,J为摆杆围绕重心A 的转动惯量。 摆杆重心A 沿x轴方向运动方程为,摆杆重心A 沿y轴方向运动方程为,即,(2.1),(2.2),即,摆杆围绕中心A点转动方程为,小车沿x轴方向运动方程式为,(2.3),(2.4),方程(2.1)(2.4)为车载倒立摆系统运动方程组。因为还有sin和c o s 项,所以为非线性微分方程组。中间变量不易相消。 (3)当很小时,可对方程组线性化,由例2.2可知sin ,同理可得到c o s 1。
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