空间-时间分数阶变系数对流扩散方程微分阶数的数值反演
20页1、2014年5月 May,2014 计算数学 MATHEMATICA NUMERICA SINICA 第36卷第2期 V_0136No2 空间一时间分数阶变系数对流扩散方程 微分阶数的数值反演 ) 贾现正 张大利 李功胜 (山东理工大学理学院应用数学研究所,山东淄博255049) 池光胜 (山东凯文科技职业学院本科教育学院,济南250200) 李慧玲 (山东理工大学理学院应用数学研究所,山东淄博255049) 摘 要 考虑终值数据条件下一维空间一时间分数阶变系数对流扩散方程中同时确定空间微分阶数 与时间微分阶数的反问题基于对空间一时间分数阶导数的离散,给出求解正问题的一个隐式差 分格式,通过对系数矩阵谱半径的估计,证明差分格式的无条件稳定性和收敛性联合最佳摄动量 算法和同伦方法引入同伦正则化算法,应用一种单调下降的Sigmoid型传输函数作为同伦参数, 对所提微分阶数反问题进行精确数据与扰动数据情形下的数值反演结果表明同伦正则化算法对 于空间一时间分数阶反常扩散的参数反演问题是有效的 关键词:空间一时间分数阶扩散;差分格式;稳定性与收敛性;微分阶数反问题;同伦正则化 算法;数值反演 MR
2、(2000)主题分类:35R30,35Rll,65M06 1引 言 近二十年来,反常扩散行为引起人们越来越多的关注,分数阶扩散方程在物理学、力学、 环境科学、水文地质学及金融学等领域得到了广泛的应用1 vJ譬如,污染物在多孔介质中的 传输往往存在着非对称的拖尾(heavy tail)或提前穿透(early breakthrough)现象,这就是溶 质运移的非费克(NonFickian)反常扩散对于这类反常扩散行为,已有研究表明,分数阶扩 散模型相比经典的整数阶高斯(Gauss)模型能够更好地模拟扩散过程和重建试验数据分数 阶导数具有记忆性、遗传性和整体性,特别对于污染物长距离传输时表现出的非对称、非线 性的整体性行为模式的研究,分数阶扩散模型可能是一个很有效的研究工具通常,若考虑时 间相关性或扩散的记忆性,就得到时间分数阶扩散方程,其中时间微分阶数介于0与1之间 的反常扩散要比正常扩散慢;若考虑空间相关性或非局域性,则得到空间分数阶扩散方程,其 中空间微分阶数介于1与2之间的反常扩散相比正常扩散要快一些如果既考虑时间相关性, 又考虑空间整体性,则得到所谓的空间一时间分数阶扩散方程 20
3、13年5月21日收到 )基金项目:国家自然科学基金资助项目(11071148)和山东省自然科学基金资助项目(ZR2011AQ014) 。)通讯作者:李功胜,Email:ligssduteducn 114 计算数学 2014钲 上世纪90年代以来,相继出版的专著8-1oj对于分数阶导数的概念,若干分数阶微分方 程解的适定性理论分析、解析解与数值解法,以及分数阶微分方程在科学与工程中的应用研 究等给予了综述总结,这其中关于时间分数阶扩散的研究居多在时间分数阶扩散方程的应 用研究方面,Adams与Gelhar【 以及Hatano等L2_较早发表了有影响的研究成果,揭示了实 际存在的一些反常扩散行为在时间分数阶微分方程初边值问题理论分析研究方面,Gorenflo 等11_ ,Hanygad13,Eidelman与Kochubei14,以及Luchko15 17】等作出了开创性的研 究,证明了解的存在唯一性,以及关于时间分数阶扩散的极值原理等结论对于时间分数阶 扩散方程的数值方法,刘发旺(FLiu)及其研究团队18-2oJ,Murio ,国内许传炬团队_22_, 以及孙志忠团队l 2 3_等主要
4、在差分法研究方面做出了贡献对于空间分数阶扩散方程的研究, Meerschaert和Benson研究团队的工作24-28 J最具影响,刘发旺及其研究团队的工作29 32 J 也广受关注,国内陈文等 3 3_、邓伟华等_34_35在数值解法及应用方面也有较好的研究 另一方面,一旦建立了一个分数阶扩散模型,求解和分析模型中难以直接测量的关键参 数就成为一类很重要的科学问题比如,反映空间或时间相关性的微分阶数的确定问题,反映 空间非均质性的扩散系数的确定问题,反映外界力作用属性的源汇项的确定问题,等等这 就导致了对于分数阶反常扩散中的反问题研究虽然对于分数阶扩散中的反问题研究还不多 见,但近年来一些工作已引起了大家的关注这其中对于时间分数阶扩散方程反问题的研究 较多,见Murio36J,程晋等 ,Bondarenko与Ivaschenkoa8 J,刘继军和Yamamoto39J,郑 光辉与魏婷_4o_,Sakamoto与Yamamoto41,徐翔等 ,Tuan4a】,Yamamoto等 ,Jin与 Rundell45】,李功胜等【46_ ,熊向团等【48,魏婷等49此外,对于空间分数阶扩散模型
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