《函数的单调性与导数》正式
17页1、3.3.1函数的单调性与导数 (第一课时),3.3.1函数的单调性与导数,函数 y = f (x) 在给定区间 G 上,当 任意x 1、x 2 G 且 x 1 x 2 时,函数单调性判定,单调函数的图象特征,1)都有 f ( x 1 ) f ( x 2 ),,则 f ( x ) 在G 上是增函数;,2)都有 f ( x 1 ) f ( x 2 ),,则 f ( x ) 在G 上是减函数;,若 f(x) 在G上是增函数或减函数,,增函数,减函数,则 f(x) 在G上具有严格的单调性。,G 称为单调区间,G = ( a , b ),一、复习引入:,在( ,0)和 (0, )上分别是减函数。但在定义域上不是减函数。,在( ,1)上是减函数,在(1, )上是增函数。,在( ,)上是增函数,画出下列函数的图象,并根据图象指出每个函数的单调区间,观 察:,下图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数 的图象, 图(2)表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 的图象. 运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?,a,a,b,b,t,t,
2、v,h,O,O,运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t 的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地,(1),(2),思考:这种情况是否具有一般性呢?,x,y,O,x,y,O,x,y,O,x,y,O,y = x,y = x2,y = x3,观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.,结论:在定义域内的某个区间(a,b)内,如果 ,那么函数 在这个区间内单调递增; 如果 ,那么函数 在这个区间内单调递减.,结论: 一般地,函数yf(x)在某个区间D内可导: 如果恒有 f(x)0,则f(x)在D上 是增函数。 如果恒有 f(x)0,则f(x)在D上 是减函数。 如果恒有 f(x)=0,则f(x)在D上 是常函数。,导函数的正负性决定原函数的增减性,例1 已知导函数 的下列信息:,当1 x 4 时,当 x 4 , 或 x 1时,当 x = 4 , 或 x = 1时,试画出函数 的图象的大致形状.,解:,当1 x 4 时, 可知 在此区间内 单调递增;,当 x 4 , 或 x 1时,
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