《函数的单调性与导数》正式
3.3.1函数的单调性与导数 （第一课时）,3.3.1函数的单调性与导数,函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 任意x 1、x 2 G 且 x 1 x 2 时,函数单调性判定,单调函数的图象特征,1）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )，,则 f ( x ) 在G 上是增函数；,2）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )，,则 f ( x ) 在G 上是减函数；,若 f(x) 在G上是增函数或减函数，,增函数,减函数,则 f(x) 在G上具有严格的单调性。,G 称为单调区间,G = ( a , b ),一、复习引入:,在（ ，0）和 （0, ）上分别是减函数。但在定义域上不是减函数。,在（ ，1）上是减函数，在（1, ）上是增函数。,在( ,)上是增函数,画出下列函数的图象，并根据图象指出每个函数的单调区间,观 察:,下图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数 的图象, 图(2)表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 的图象. 运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?,a,a,b,b,t,t,v,h,O,O,运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t 的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地,(1),(2),思考：这种情况是否具有一般性呢？,x,y,O,x,y,O,x,y,O,x,y,O,y = x,y = x2,y = x3,观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.,结论：在定义域内的某个区间(a,b)内,如果 ,那么函数 在这个区间内单调递增; 如果 ,那么函数 在这个区间内单调递减.,结论： 一般地，函数yf（x）在某个区间D内可导： 如果恒有 f(x)0，则f（x）在D上 是增函数。 如果恒有 f(x)0，则f（x）在D上 是减函数。 如果恒有 f(x)=0，则f（x）在D上 是常函数。,导函数的正负性决定原函数的增减性,例1 已知导函数 的下列信息:,当1 x 4 时,当 x 4 , 或 x 1时,当 x = 4 , 或 x = 1时,试画出函数 的图象的大致形状.,解:,当1 x 4 时, 可知 在此区间内 单调递增;,当 x 4 , 或 x 1时, 可知 在此区间内单调递减;,当 x = 4 , 或 x = 1时,综上, 函数 图象的大致形状如右图所示.,例题,.变式练习：,1.设f ´(x)是函数f(x)的导函数，y=f ´(x)的图象如图所示，则y=f(x)的图象最有可能是( ),x,y,o,1,2,x,y,o,1,2,x,y,o,1,2,x,y,o,1,2,x,y,o,1,2,A,B,C,D,D,变式练习2：已知函数y=f (x)的图象如图所示，试画出其导函数f '(x)图象的大致形状。,O,课本P92练习2,例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:,解:,(1) 因为 , 所以,因此, 函数 在 上单调递增.,(2) 因为 , 所以,当 , 函数 单调递增;,当 , , 函数 单调递减.,(4) 因为 , 所以,变式练习2,求证: 函数 在 内是减函数.,解:,由 , 解得 , 所以函数 的递减区间是 , 即函数 在 内是减函数.,例题3：如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同) 注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容 器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.,(A),(B),(C),(D),h,t,O,h,t,O,h,t,O,h,t,O,思考：能用导数来解释函数变化的快慢吗？,结论：一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.,如图,函数 在 或 内的图象“陡峭”,在 或 内的图象平缓.,能用导数来解释函数变化的快慢吗？,f (x)在(a，b)上为增函数的则,在(a，b)上，f '(x)0恒成立且f '(x)不恒为0,知识拓展,例1、已知函数f (x)=ax3+1在(-，+)上单调递增， 求实数a的取值范围.,（减函数时同理）,知识拓展：已知函数f (x)=x3+ax在(-，+)上单调递增，求实数a的取值范围。,解：函数f (x)=x3+ax在(-，+)上单调递增,当函数f (x)=x3+ax在(-，+)上单调递增时， 实数a的取值范围是0，+),即a0,变式练习,2.讨论二次函数 的单调区间.,解:,由 , 得 , 即函数 的递增区间是 ; 相应地, 函数的递减区间是,由 , 得 , 即函数 的递增区间是 ; 相应地, 函数的递减区间是,1、求可导函数f(x)单调区间的步骤： (1)求f(x) (2)解不等式f(x)0(或f(x)0) (3)确认并指出递增区间（或递减区间）,2、证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法： (1)求f(x) (2)确认f(x)在(a,b)内的符号 (3)作出结论,总结,一般地，若题目的要求是 “判断某个函数的单调性或求它的单调区间” 则用导数f '(x)0(或f '(x)0)计算即可.,若题目的要求是 “已知某个函数的单调性，要求其他问题” 则需用导数f '(x)0(或f '(x)0)计算，并要检验 f '(x)是否恒为0.,总结,知识拓展：,思考：已知函数f (x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数， 求a的取值范围。,
