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嵌套二重积分的插值解法和RBF网络解法

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常见问题

1、本贴探讨嵌套二重积分的一种插值解法。希望抛砖引玉，大家踊跃讨论。以 “讨论关于用matlab求解一个复杂的二重积分问题问题是这样的：F1(x,y) = Int Int f(m,n)*exp(i(x*m+y*n) dm dn,F1是一个积分函数，假如函数有解析解的话可以设F1=x+y，但对于一个复杂的积分问题F1肯定没有解析解的。F2 = Int Int (F1*(xA2+yA2)dxdy现在需要把F2这个积分求出来。显然这里用普通的dblquad函数是不适用的，不知道那位大虾有好的idea。我现在的想法是先用dblquad函数把F1在各个离散点上值求出来形成一个二维数组，然后想办法把F1函数的各个离散点的值输入在F2函数中进行积分。不知道matlab里怎么输入一个二维数组当函数输入进行积分，不行的话只能按照最原始的体积叠加的方法进行积分计算了”为例。上述帖子中的二重积分内部还有两个二重积分的平方。按通常办法解起来，计算量相当大，以我在那个帖子里给出的均匀划分网格法为例，虽然该方法将积分区域划分成均匀的n*n个网格以每个网格中心的函数值乘以网格的面积作为函数在这个网格

2、上积分的近似，由于内部函数还要计算两个二重积分的平方，因此这一方法要计算2*M2个二重积分的平方。计算量还是太大。本贴的想法是将插值法和均匀划分网格法结合起来为了求一个复杂的连续性、光滑性比较好的函数(譬如上面帖子链接里的函数)在一个区域上的积分，首先粗划分积分区域(生成比较粗的网格)，计算函数在粗网格节点上的值，然后在上面网格基础上细划分网格，根据粗网格节点上的函数值利用interp2或者 griddata函数插值生成细网格节点上的函数值。然后再乘以细网格面积并求和得到整个函数在积分区域积分的近似值。以下是以上面提到的积分为例子的代码： function INT,TfI=alber2008i(inf_u,inf_v,mm,nn) %inf_u,u无穷上限的近似 %inf_v，v无穷上限的近似，%mm,u,v积分限细等分个数(目的是插值生成足够多的Tf_Integrand函数点) %nn,u,v积分限粗等分个数(目的是生成插值的骨架点)UI,VI=meshgrid( (inf_u/mm:inf_u/mm:inf_u),(inf_v/mm:inf_v/mm:inf_v) ;%细

3、网格数据U,V=meshgrid( linspace(inf_u/mm,inf_u,nn),linspace(inf_v/mm,inf_v,nn) ;%粗网格数据Tf=zeros(nn);for k=1:nnA2Tf(k)=Tf_Integrand( U(k), V(k) ); %生成粗网格节点函数值 end%插值并求近似积分TfI = interp2(U,V,Tf,UI,VI);INT=TfI*inf_u*inf_v/(mmA2);INT=sum(INT(:);function z = Tf_Integrand(u,v) m=1;n=1;a = 1;b = 1;km = 2*m*pi/a;kn = 2*n*pi/b;f_rel = (x,y) (1-cos(km*x).*(1-cos(kn*y).*cos(u.*x+v.*y);f_img = (x,y) (1-cos(km*x).*(1-cos(kn*y).*sin(u.*x+v.*y);tmp_rel = dblquad(f_rel, 0,a, 0,b);tmp_img = dblquad(f_img, 0,a, 0,b);z = (tmp_rel.A2+tmp_img.A2)./sqrt(u.A2+v.A2);endend划分网格法：分成25*25个网格，计算1250个二重积分的平方：所用时间结果:tic,INT=alber2008(40,40,25);tocElapsed time is 188.849775 seconds.INT =6.8267插值法：粗分成15*15个网格，计算450个二重积分的平方，然后根据这225 个函数点插值生成50*50个函数值，最后计算近似积分，所用时间和结果： tic;INTi,TfI=alber2008i(40,40,50,15);tocElapsed time is 68.853558 seconds.INTi =6.0241

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