空间向量专题练习答案
6页1、空间向量专题练习一、填空题 (本大题共4 小题,共分 )1.平面 的法向量为( 1, 0, -1),平面 的法向量为(0, -1, 1),则平面与平面 所成二面角的大小为_ 【答案】或【解析】解:设平面的法向量为=( 1, 0, -1),平面 的法向量为=( 0, -1, 1),则 cos, =- ,= 平面 与平面 所成的角与, 相等或互补, 与 所成的角为或故答案为:或利用法向量的夹角与二面角的关系即可得出本题考查了利用用法向量的夹角求二面角的方法,考查了计算能力,属于基础题2.平面 经过三点A( -1,0, 1),B( 1,1, 2), C( 2, -1,0),则平面 的法向量可以是_ (写出一个即可)【答案】( 0, 1, -1)【解析】解:=(2, 1, 1),=( 3, -1,-1),设平面 的法向量=( x, y, z),则,令 z=-1, y=1, x=0 =( 0, 1, -1)故答案为:( 0, 1, -1)设平面 的法向量=( x, y, z),则,解出即可本题考查了线面垂直与数量积的关系、平面的法向量,属于基础题3.已知=(1, 0, 2),=( 2, 1, 1
2、),则平面 ABC 的一个法向量为_ 【答案】( -2, 3,1)【解析】解:=(1, 0, 2),=( 2, 1,1),设平面 ABC的法向量为=( x, y, z),则,即,取 x=-2,则 z=1, y=3 =( -2, 3, 1)故答案为:( -2,3,1)设平面 ABC的法向量为=( x, y, z),则,解出即可本题考查了平面的法向量、线面垂直与数量积的关系,属于基础题4.在三角形ABC 中, A(1,-2,-1),B(0, -3,1),C( 2,-2,1),若向量与平面 ABC垂直,且 |=,则的坐标为_ 【答案】( 2, -4, -1)或( -2, 4, 1)【解析】解:设平面ABC 的法向量为=( x, y,z),则=0,且=0, =( -1, -1, 2),=( 1, 0, 2),即,令 z=1,则 x=-2, y=4,即 =( -2, 4, 1),若向量与平面 ABC垂直,向量,设 = =( -2, 4, ), |=, | |= ,即 | |=1,解得 =1, 的坐标为( 2, -4, -1)或( -2, 4,1),故答案为:( 2, -4,-1)或( -2, 4
3、, 1)根据条件求出平面的法向量,结合向量的长度公式即可得到结论本题主要考查空间向量坐标的计算, 根据直线和平面垂直求出平面的法向量是解决本题的关键二、解答题 (本大题共3 小题,共分 )5.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形, BAD=60 ,Q 为 AD 的中点( 1)若 PA=PD,求证:平面 PQB 平面 PAD;( 2)点 M 在线段 PC上,若平面PAD平面 ABCD,且 PA=PD=AD=2,求二面角M-BQ-C 的大小【答案】解:( 1)证明:由题意知:PQ AD, BQ AD, PQBQ=Q, AD 平面 PQB,又 AD 平面 PAD, 平面 PQB 平面 PAD( 2) PA=PD=AD, Q 为 AD 的中点, PQ AD, 平面 PAD 平面 ABCD,平面 PAD平面 ABCD=AD, PQ 平面 ABCD,以 Q 这坐标原点,分别以 QA, QB,QP 为 x, y, z 轴,建立如图所求的空间直角坐标系,由题意知: Q(0,0, 0),A( 1, 0, 0),P( 0, 0,), B( 0, 0), C(-2, 0)=(-,),设是平面MB
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