空间向量专题练习答案
空间向量专题练习一、填空题 (本大题共4 小题，共分 )1.平面 的法向量为（ 1， 0， -1），平面 的法向量为（0， -1， 1），则平面与平面 所成二面角的大小为_ 【答案】或【解析】解：设平面的法向量为=（ 1， 0， -1），平面 的法向量为=（ 0， -1， 1），则 cos， =- ，= 平面 与平面 所成的角与， 相等或互补， 与 所成的角为或故答案为：或利用法向量的夹角与二面角的关系即可得出本题考查了利用用法向量的夹角求二面角的方法，考查了计算能力，属于基础题2.平面 经过三点A（ -1，0， 1），B（ 1，1， 2）， C（ 2， -1，0），则平面 的法向量可以是_ （写出一个即可）【答案】（ 0， 1， -1）【解析】解：=（2， 1， 1），=（ 3， -1，-1），设平面 的法向量=（ x， y， z），则，令 z=-1， y=1， x=0 =（ 0， 1， -1）故答案为：（ 0， 1， -1）设平面 的法向量=（ x， y， z），则，解出即可本题考查了线面垂直与数量积的关系、平面的法向量，属于基础题3.已知=（1， 0， 2），=（ 2， 1， 1），则平面 ABC 的一个法向量为_ 【答案】（ -2， 3，1）【解析】解：=（1， 0， 2），=（ 2， 1，1），设平面 ABC的法向量为=（ x， y， z），则，即，取 x=-2，则 z=1， y=3 =（ -2， 3， 1）故答案为：（ -2，3，1）设平面 ABC的法向量为=（ x， y， z），则，解出即可本题考查了平面的法向量、线面垂直与数量积的关系，属于基础题4.在三角形ABC 中， A（1，-2，-1），B（0， -3，1），C（ 2，-2，1），若向量与平面 ABC垂直，且 |=，则的坐标为_ 【答案】（ 2， -4， -1）或（ -2， 4， 1）【解析】解：设平面ABC 的法向量为=（ x， y，z），则=0，且=0， =（ -1， -1， 2），=（ 1， 0， 2），即，令 z=1，则 x=-2， y=4，即 =（ -2， 4， 1），若向量与平面 ABC垂直，向量，设 = =（ -2， 4， ）， |=， | |= ，即 | |=1，解得 =±1， 的坐标为（ 2， -4， -1）或（ -2， 4，1），故答案为：（ 2， -4，-1）或（ -2， 4， 1）根据条件求出平面的法向量，结合向量的长度公式即可得到结论本题主要考查空间向量坐标的计算， 根据直线和平面垂直求出平面的法向量是解决本题的关键二、解答题 (本大题共3 小题，共分 )5.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形， BAD=60 ，°Q 为 AD 的中点（ 1）若 PA=PD，求证：平面 PQB 平面 PAD；（ 2）点 M 在线段 PC上，若平面PAD平面 ABCD，且 PA=PD=AD=2，求二面角M-BQ-C 的大小【答案】解：（ 1）证明：由题意知：PQ AD， BQ AD， PQBQ=Q， AD 平面 PQB，又 AD 平面 PAD， 平面 PQB 平面 PAD（ 2） PA=PD=AD， Q 为 AD 的中点， PQ AD， 平面 PAD 平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD=AD， PQ 平面 ABCD，以 Q 这坐标原点，分别以 QA， QB，QP 为 x， y， z 轴，建立如图所求的空间直角坐标系，由题意知： Q（0，0， 0），A（ 1， 0， 0），P（ 0， 0，）， B（ 0， 0）， C（-2， 0）=（-，），设是平面MBQ 的一个法向量，则，又 平面BQC的一个法向量， cos =， 二面角 M-BQ-C 的大小是60 °【解析】（ 1）由题设条件推导出 PQ AD，BQAD，从而得到 AD平面 PQB，由此能够证明平面 PQB 平面 PAD（ 2）以 Q 这坐标原点，分别以 QA， QB， QP 为 x， y， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 M-BQ-C 的大小本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用6.如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD是正方形，侧棱 PD 底面 ABCD， PD=DC=2，点 E 是 PC的中点， F 在直线 PA 上（ 1）若 EF PA，求 的值；（ 2）求二面角 P-BD-E的大小【答案】解：（ 1） 在四棱锥P-ABCD中，底面 ABCD是正方形，侧棱PD 底面ABCD， 以 D 为原点， DA 为 x 轴， DC 为 y轴，DP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， PD=DC=2，点 E 是 PC的中点， F 在直线 PA上， P（ 0，0，2），A（ 2，0，0），C（ 0，2， 0）， E（ 0， 1， 1），设 F（ a， 0， c），则（ a，0，c-2）=（ 2，0，-2）=（ 2，0，-2）， a=2 ， c=2-2 ，F（2 ，0， 2-2 ），=（2，-1，1-2），=（ 2，0，-2）， EFPA =4 -2+4 =0，解得= （ 2） P（ 0，0，2）， B（ 2， 2， 0），D（ 0， 0， 0）， E（ 0， 1， 1），=（ 0， 0， 2），=（ 2， 2， 0），=（ 0，1， 1），设平面 BDP的法向量=（ x， y， z），则，取 x=1，得=（ 1， -1， 0），设平面 BDE的法向量=（ x， y， z），则，取 x=1，得=（ 1， -1， 1），设二面角 P-BD-E的大小为 ，则 cos= = 二面角 P-BD-E的大小为arccos【解析】（ 1）以 D 为原点， DA 为 x 轴， DC 为 y 轴， DP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出 的值（ 2）求出平面 BDP 的法向量和设平面 BDE的法向量，由此能求出二面角 P-BD-E的大小本题考查线段比值的求法，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用7.如图所示的几何体是由棱台ABC-A1B1 C1 和棱锥 D-AA1C1 C拼接而成的组合体，其底面四边形 ABCD是边长为 2 的菱形，且 BAD=60°，BB1 平面 ABCD， BB1=2A1B1=2（ ）求证：平面AB1C平面 BB1D；（ ）求二面角A1-BD-C1 的余弦值【答案】（ ）证明： BB1 平面 ABCD， BB1 AC， ABCD是菱形， BD AC，又 BDBB1=B， AC 平面 BB1D， AC 平面 AB1C， 平面 AB1C 平面 BB1D；（ ）设 BD、AC 交于点 O，以 O 为坐标原点，以 OA 为 x 轴，以 OD 为 y 轴，建立如图所示空间直角坐标系则，设平面 A1BD 的法向量，由，取 z=，得，设平面 DCF的法向量，由，取 z=，得设二面角 A11-BD-C 为 ，则【解析】（ ）由 BB11ABCD是菱形，得BD AC，由线面垂直 平面 ABCD，得 BB AC，再由的判定可得 AC平面 BB1D，进一步得到平面AB1C 平面 BB1D；（ ）设 BD、AC 交于点 O，以 O 为坐标原点，以OA 为 x 轴，以 OD 为 y 轴，建立如图所示空间直角坐标系求出所用点的坐标，得到平面A1BD 与平面 DCF的法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A1-BD-C1 的余弦值本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题
