日本东京大学入学考试理科数学试题解析
67页1、 2021年日本东京大学入学考试理科数学试题解析 彭 刚 陈映彤 (广西师范大学数学与统计学院 541004)东京大学是日本最顶尖的综合性大学,汇聚了日本一流的人力资本和学术资源.在日本 近代数学的发展中,东京大学扮演了举足轻重的角色1877年日本东京数学会和东京大学 理学部成立,日本现代数学研究正式拉开帷幕.曾获菲尔兹奖和沃尔夫奖的著名数学家小平邦彦(Kunihiko Kodaira,19151997)就曾在东京大学工作过.时至今日,东京大学仍是日本最重要的数学研究机构.与日本其他著名高校一样,东京大学每年通过大学入学考试为其选拔大批优秀后备人才,不断增强本校数学研究的力量.日本著名大学入学考试作为选拔高水平人才的得力方式,其试题的设置方式与内容均值得我们借鉴本文对东京大学2021年数学入学考试试题进行解析,希望对当前中国实施的“强基计划”提供参考.1 试题概述日本国公立大学的选拔一般由两场考试构成学生首先需通过全国统一的大学入学考试,成绩合格后才有资格参加国家公立大学自主组织的入学考试.东京大学自主组织的入学考试数学试题分为理科卷和文科卷,本文介绍的即为2021年东京大学入学考试中
2、的理科数学试题.依据日本最大的教育辅导社河合塾提供的数据,2021年东京大学理科数学试题的总体难度与2020年持平,较2019年有所上升.试题中的题目均为解答题,共6大题(每个大题都包含若干个小题),总分为120分,考试总时长为150分钟.从内容方面来看,这些题目涉及的知识领域包括初等数论、初等代数、解析几何以及微积分.下面我们对这6道问题进行解析.2 试题解析第1题 已知a,b为实数,平面直角坐标系中有抛物线C:y=x+ax+b,它与抛物线y= -x有两个交点,且两个交点的横坐标分别满足x(-1,0),x(0,1).(1)在平面直角坐标系中表示出点(a,b)的范围;(2)在平面直角坐标系中表示出抛物线C的范围.解 (1)由得2x+ax+b=0.设f(x)=2x+ax+b,依题意知f(x)的图象与x轴的两个交点为(x,0),(x,0),且 -1x0,0x1.由x,x的分布可知即从而得到平面直角坐标系中点(a,b)的范围(如图1所示,a轴上的点除外).图1(2)设(1)中点(a,b)的范围为D,抛物线通过的范围设为E,(x,y)为E中任意一点,则(x,y)满足的条件为:在xOy平面上,满
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