函数性质中的数学抽象在问题解决与设计中的应用
89页1、 函数性质中的数学抽象在问题解决与设计中的应用 201299 上海市新川中学 姚志青2017年版普通高中数学课程标准给出了普通高中数学学科的核心素养要求,包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六个方面.数学发展所依赖的思想在本质上有三个,即抽象、推理、模型,其中抽象是核心.数学抽象作为一种数学思想渗透在数学学科的各个知识点之中,笔者对如何在函数性质中体现数学抽象以及如何应用数学抽象进行问题设计展开实践与研究.一、 数学抽象在函数性质中的体现函数是贯穿高中数学的一条主线,数学抽象在函数问题中的应用非常广泛,以2021年上海高考的数学压轴题为例.原题 如果对于任意的x,xR,当x-xS时,恒有f(x)-f(x)S成立,则称f(x)是S关联.(1)判断并证明f(x)=2x-1是否是0,+)关联?是否是0,1关联?(2)已知f(x)是3关联,且x0,3)时,f(x)=x-2x,解不等式2f(x)3.(3)求证:“f(x)是1关联,且是0,+)关联”的充要条件是“f(x)是1,2关联”.这个问题是一个函数的定义型问题,它定义了“f(x)是集合S关联的概念”,通过函数性质的
2、应用考查学生的数学核心素养.函数性质的应用体现了其源于教材中的形式,需要将函数的性质在文字语言、符号语言、图像表述三个方面进行内化,以理解函数性质的本质特征.这个内化的过程可以体现在数学抽象方面,所谓数学抽象就是能够根据一类数学对象抽取或归纳出其本质特征的思维过程.笔者结合上述具体的步骤,分析问题中涉及数学抽象的三个方面.小问(1)解:由f(x)=2x-1,得f(x)-f(x)=2(x-x).当x-x0,+)时,f(x)-f(x)0,+),所以f(x)是0,+)关联;当x-x0,1时,f(x)-f(x)0,2,所以f(x)不是0,1关联.(一)数学抽象需要类比抽象由题中f(x)-f(x)的形式容易类比联想到教材中的形式,在函数单调性中,通过f(x)-f(x)来作差比较f(x),f(x)大小,从而确定f(x)的单调性.解题过程中“由f(x)=2x-1得到f(x)-f(x)=2(x-x),则当x-x0,+)时,f(x)-f(x)0,+)”的本质就是“当xx时,都有f(x)f(x)”,类比联想到函数的单调递增的性质(非严格单调),所以可以通过类比的方法抽象得到f(x),f(x)的性质.类比抽
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