高中数学学习资料第九章 计数原理与概率
20页1、第九章计数原理与概率9.1 计数原理一、知识导学1.分类计数原理:完成一件事,有类办法,在第1类办法中,有种不同的方法,在第2类办法中,有种不同的方法,在第类办法中,有种不同的方法,那么完成这件事共有N种不同的方法.2. 分步计数原理:完成一件事,需要分成个步骤,做第1步,有种不同的方法,做第2步,有种不同的方法,做第步,有种不同的方法,那么完成这件事共有N种不同的方法.注:分类计数原理又称加法原理分步计数原理又称乘法原理二、疑难知识导析1分类原理中分类的理解:“完成一件事,有类办法”这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时,首先要根据问题的特点,确定一个适合它的分类标准,然后在这个标准下进行分类,其次,分类时要注意满足两条基本原则:第一,完成这件事的任何一种方法必须属于某一类;第二,分别属于不同类的两种方法是不同的方法.前者保证完成这件事的立法不遗漏,后者保证不重复.2分步原理中分步的理解:“完成一件事,需要分成个步骤”这就是说完成这件事的任何一种方法,都要完成这个步骤.分步时,首先要根据问题的特点确定一个可行的分步标准,其次,步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这个步
2、骤,这件事才算最终完成.3两个原理的区别在于一个和分类有关,一个和分步有关.如果完成一件事有类办法,这类办法彼此之间是相互独立的,无论哪一类办法中的哪一个都能单独完成这件事,求完成这件事的方法种数,就用分类计数原理.如果完成一件事,需分成个步骤,缺一不可,即需要依次完成所有的步骤,才能完成这件事,完成每一个步骤各有若干种不同的方法,求完成这件事的方法种数,就用分步计数原理.4在具体解题时,常常见到某个问题中,完成某件事,既有分类,又有分步,仅用一种原理不能解决,这时需要认真分析题意,分清主次,选择其一作为主线.5在有些问题中,还应充分注意到在完成某件事时,具体实践的可行性.例如:从甲地到乙地 ,要从甲地先乘火车到丙地,再从丙地乘汽车到乙地.那么从甲地到乙地共有多少种不同的走法?这个问题中,必须注意到发车时刻,所限时间,答案较多.三、经典例题导讲例1体育场南侧有4个大门,北侧有3个大门,某学生到该体育场练跑步,则他进出门的方案有( )A12 种 B7种C24种 D49种错解:学生进出体育场大门需分两类,一类从北边的4个门进,一类从南侧的3个门进,由分类计数原理,共有7种方案. 选B错因:
3、没有审清题意本题不仅要考虑从哪个门进,还需考虑从哪个门出,应该用分步计数原理去解题.正解:学生进门有7种选择,同样出门也有7种选择,由分步计数原理,该学生的进出门方案有7749种. 应选D例2从1,2,3,,10中选出3个不同的数,使这三个数构成等差数列,则这样的数列共有多少个?错解:根据构成的等差数列的公差,分为公差为1、2、3、4四类.公差为1时,有8个;公差为2时,首先将数字分成1,3,5,7,9,和2,4,6,8,10两组,再得到满足要求的数列共336个;公差为3时,有1,4,7和4,7,10和3,6,9以及2,5,8,共4个;公差为4时,只有1,5,9和2,6,10两个.由分类计数原理可知,共构成了不同的等差数列864220个.错因:上述解答忽略了1,2,3与3,2,1它们是不同的数列, 因而导致考虑问题不全面,从而出现漏解. 这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题正解:根据构成的等差数列的公差,分为公差为1、2、3、4四类.公差为1时,有8216个;公差为2时,满足要求的数列共6212个;公差为3时,有428个;公差为4时,只有224个.由分类计数原理可知,共构成了不同
4、的等差数列16128440个.例3三张卡片的正反面分别写有1和2,3和4,5和6,若将三张卡片并列,可得到几个不同的三位数(6不能作9用).解:解法一第一步,选数字.每张卡片有两个数字供选择,故选出3个数字,共有8种选法.第二步,排数字.要排好一个三位数,又要分三步,首先排百位,有3种选择,由于排出的三位数各位上的数字不可能相同,因而排十位时有2种选择,排个位只有一种选择.故能排出3216个不同的三位数.由分步计数原理,共可得到8648个不同的三位数.解法二:第一步,排百位有6种选择,第二步,排十位有4种选择,第三步,排个位有2种选择.根据分步计数原理,共可得到64248个不同的三位数.注:如果6能当作9用,解法1仍可行.例4集合A1,2,3,4,集合B1,2,可建立多少个以A为定义域B为值域的不同函数?分析:函数是特殊的映射,可建立映射模型解决.解: 从集合A到集合B的映射共有=16个,只有都与1,或2对映的两个映射不符合题意,故以A为定义域B为值域的不同函数共有16214个.或 例5 用0,1,2,3,4,5这六个数字,(1)可以组成多少个数字不重复的三位数?(2)可以组成多少个数
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