高中数学学习资料第九章 计数原理与概率

第九章计数原理与概率§9.1 计数原理一、知识导学1.分类计数原理：完成一件事，有类办法，在第1类办法中，有种不同的方法，在第2类办法中，有种不同的方法，在第类办法中，有种不同的方法，那么完成这件事共有N种不同的方法.2. 分步计数原理：完成一件事，需要分成个步骤，做第1步，有种不同的方法，做第2步，有种不同的方法，做第步，有种不同的方法，那么完成这件事共有N×××种不同的方法.注：分类计数原理又称加法原理分步计数原理又称乘法原理二、疑难知识导析1分类原理中分类的理解：“完成一件事，有类办法”这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点，确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类，其次，分类时要注意满足两条基本原则：第一，完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；第二，分别属于不同类的两种方法是不同的方法.前者保证完成这件事的立法不遗漏，后者保证不重复.2分步原理中分步的理解：“完成一件事，需要分成个步骤”这就是说完成这件事的任何一种方法，都要完成这个步骤.分步时，首先要根据问题的特点确定一个可行的分步标准，其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这个步骤，这件事才算最终完成.3两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关.如果完成一件事有类办法，这类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一个都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理.如果完成一件事，需分成个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数，就用分步计数原理.4在具体解题时，常常见到某个问题中，完成某件事，既有分类，又有分步，仅用一种原理不能解决，这时需要认真分析题意，分清主次，选择其一作为主线.5在有些问题中，还应充分注意到在完成某件事时，具体实践的可行性.例如：从甲地到乙地 ，要从甲地先乘火车到丙地，再从丙地乘汽车到乙地.那么从甲地到乙地共有多少种不同的走法？这个问题中，必须注意到发车时刻，所限时间，答案较多.三、经典例题导讲例1体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有（ ）A12 种 B7种C24种 D49种错解：学生进出体育场大门需分两类，一类从北边的4个门进，一类从南侧的3个门进，由分类计数原理，共有7种方案. 选B错因:没有审清题意本题不仅要考虑从哪个门进，还需考虑从哪个门出，应该用分步计数原理去解题.正解：学生进门有7种选择，同样出门也有7种选择，由分步计数原理，该学生的进出门方案有7×749种. 应选D例2从1,2，3，,10中选出3个不同的数，使这三个数构成等差数列，则这样的数列共有多少个？错解：根据构成的等差数列的公差，分为公差为1、2、3、4四类.公差为1时，有8个；公差为2时，首先将数字分成1,3，5,7,9，和2,4，6,8，10两组，再得到满足要求的数列共336个；公差为3时，有1,4，7和4,7，10和3,6，9以及2,5，8，共4个；公差为4时，只有1,5，9和2,6，10两个.由分类计数原理可知，共构成了不同的等差数列864220个.错因：上述解答忽略了1,2，3与3,2，1它们是不同的数列， 因而导致考虑问题不全面，从而出现漏解. 这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题正解：根据构成的等差数列的公差，分为公差为±1、±2、±3、±4四类.公差为±1时，有8×216个；公差为±2时，满足要求的数列共6×212个；公差为±3时，有4×28个；公差为±4时，只有2×24个.由分类计数原理可知，共构成了不同的等差数列16128440个.例3三张卡片的正反面分别写有1和2,3和4,5和6，若将三张卡片并列，可得到几个不同的三位数（6不能作9用）.解：解法一第一步，选数字.每张卡片有两个数字供选择，故选出3个数字，共有8种选法.第二步，排数字.要排好一个三位数，又要分三步，首先排百位，有3种选择，由于排出的三位数各位上的数字不可能相同，因而排十位时有2种选择，排个位只有一种选择.故能排出3×2×16个不同的三位数.由分步计数原理，共可得到8×648个不同的三位数.解法二：第一步，排百位有6种选择，第二步，排十位有4种选择，第三步，排个位有2种选择.根据分步计数原理，共可得到6×4×248个不同的三位数.注：如果6能当作9用，解法1仍可行.例4集合A1,2，3,4，集合B1，2，可建立多少个以A为定义域B为值域的不同函数？分析：函数是特殊的映射，可建立映射模型解决.解： 从集合A到集合B的映射共有=16个，只有都与1，或2对映的两个映射不符合题意，故以A为定义域B为值域的不同函数共有16214个.或 例5 用0，1,2，3,4，5这六个数字，（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？（3）可以组成多少个数字不重复的三位奇数？（4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？（5）可以组成多少个数字不重复的大于3000，小于5421的四位数？解：（1）分三步：先选百位数字，由于0不能作为百位数，因此有5种选法；十位数字有5种选法；个位数字有4种选法.由分步计数原理知所求三位数共有5×5×4100个.（2）分三步：先选百位数字，由于0不能作为百位数，因此有5种选法；十位数字有6种选法；个位数字有6种选法.由分步计数原理知所求三位数共有5×6×6180个.（3）分三步：先选个位数字，由于组成的三位数是奇数，因此有3种选法；再选百位数字有4种选法；个位数字也有4种选法.由分步计数原理知所求三位数共有3×4×448个.（4）分三类：一位数，共有6个；两位数，共有5×525个；三位数，共有5×5×4100个.因此，比1000小的自然数共有625100131个（5）分四类：千位数字为3,4之一时，共有2×5×4×3120个；千位数字为5，百位数字为0,1，2,3之一时，共有4×4×348个；千位数字为5，百位数字是4，十位数字为0,1之一时，共有2×36个；还有5420也是满足条件的1个.故所求自然数共1204861175个评注：排数字问题是最常见的一种题型，要特别注意首位不能排0.四、典型习题导练1将4个不同的小球放入编号为1、2、3的三个不同的盒子中，其中每个盒子都不空的放法共有（） A种        B种 C18种         D36种2集合A1,2，3，B1，2,3，4，从A、B中各取1个元素作为占点P的坐标.（1）可以得到多少个不同的点？（2）在这些点中位于第一象限的点有几个？3. 在1,2，3,4，7,9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数与真数，能得到多少个不同的对数值？4. 在连结正八边形的三个顶点组成的三角形中，与正八边形有公共边的有多少个？5某艺术组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人，有多少种不同的选法？6. 某地提供A、B、C、D四个企业供育才中学高三年级3个班级进行社会实践活动，其中A是明星企业，必须有班级去进行社会实践，每个班级去哪个企业由班级自己在四个企业中任意选择一个，则不同的安排社会实践的方案共有多少种？§9.2 排列与组合一、知识导学1.排列：一般地，从个不同元素中取出（）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.2.全排列：个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的全排列.3. 排列数：从个不同元素中取出（）个元素的所有排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数.用符号表示.4. 阶乘：正整数1到的连乘积，叫做的阶乘，用！表示.规定：0！15.组合：一般地，从个不同元素中取出（）个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.6.组合数：从个不同元素中取出（）个元素的所有组合的个数叫做从个不同元素中取出个元素的组合数.用符号表示.7.本节公式（1）排列数公式（这里、，且）（2）组合数公式（这里、，且）（3）组合数的两个性质规定： 二、疑难知识导析1排列的定义中包含两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列”。从定义知，只有当元素完全，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列，元素完全不同，或元素部分相同或元素完全相同而顺序不同的排列，都不是同一排列.两个相同数列，当且仅当它们的元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同.2排列与排列数是两个不同的概念.一个排列是指从个不同元素中取出（）个元素，按照一定的顺序排成一列的一种具体方法，它不是数；而排列数是指从个不同元素中取出（）个元素的所有不同数列的种数，它是一个数.3排列应用题一般分为两类，即无限制条件的排列问题和有限制条件的排列问题.常见题型有：排队问题、数字问题、与几何有关的问题.解排列应用题时应注意以下几点：认真审题，根据题意分析它属于什么数学问题，题目中的事件是什么，有无限制条件，通过怎样的程序完成这个事件，用什么计算方法.弄清问题的限制条件，注意研究问题，确定特殊元素和特殊的位置.考虑问题的原则是特殊元素、特殊位置优先，必要时可通过试验、画图、小数字简化等手段帮助思考.恰当分类，合理分步.在分析题意，画框图来处理，比较直观.在解应用时，应充分运用.解排列应用题的基本思路：基本思路：直接法：即从条件出发，直接考虑符合条件的排列数；间接法：即先不考虑限制条件，求出所有排列数，然后再从中减去不符合条件的排列数.常用方法：特殊元素、特殊位置分析法，排除法（也称去杂法），对称分析法，捆绑法，插空档法，构造法等.4对组合的理解：如果两个组合中的元素完全相同，那么不管它们顺序如何都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同时（即使只有一个元素不同），就是不同的组合.5排列与组合的区别与联系：根据排列与组合的定义，前者是从个不同元素中取出个不同元素后，还要按照一定的顺序排成一列，而后者只要从个不同元素中取出个不同元素并成一组，所以区分某一问题是排列还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，而交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题.也就是说排列与选取元素的顺序有关，组合与选取元素的顺序无关.排列与组合的共同点，就是都要“从个不同元素中，任取（）个元素”，而不同点在于元素取出以后，是“排成一排”，还是“组成一组”，其实质就是取出的元素是否存在顺序上的差异.因此，区分排列问题和组合问题的主要标志是：是否与元素的排列顺序有关，有顺序的是排列问题，无顺序的组合问题.例如123和321,132是不同的排列，但它们都是相同的组合.再如两人互寄一次信是排列问题，互握一次手则是组合问题.排列数与组合数的联系.求从个不同元素中取出个元素