多元函数微分法和应用期末复习题高等数学(下册)(上海电机学院)

1、第八章 偏导数与全微分一、选择题1.若u=u(x, y)是可微函数，且 则 A A. B. C. -1 D. 12.函数 D A. 在点(-1, 3)处取极大值 B. 在点(-1, 3)处取极小值 C. 在点(3, -1)处取极大值 D. 在点(3, -1)处取极小值3.二元函数在点处的两个偏导数存在是函数在该点可微的 B A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件4. 设u=+2+3+xy+3x-2y-6z在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数 D A. B. C. D. 5. 函数 B A. 在点(0, 0)处取极大值 B. 在点(1, 1)处取极小值 C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值6.二元函数在点处可微是在该点连续的 A A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件7. 已知, 则= B A. B. C. D. 8. 函数 （x0，y0） D A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处

2、取极小值 C.在点(5, 2)处取极大值 D. 在点(5, 2)处取极小值9.二元函数在点处连续的是在点处可微的 A A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件10. 曲线x=t, y=, z=所有切线中与平面x+2y+z=4平行的切线有 B A. 1 条 B.2条 C. 3条 D.不存在11设，则 B A. B. C. D. 12为使二元函数沿某一特殊路径趋向的极限为2，这条路线应选择为 B A. B. C. D. 13设函数满足，且，则BA. B. C. D. 14设，则 C A. B. C. D. 15为使二元函数在全平面连续，则它在处应被补充定义为 B A.-1 B.0 C.1 D.16已知函数，则 CA. B. C. D. 17若 ，则B A. B. C. D. 18若，则在点 D 处有A. B. C. D. 19设，则下列结论正确的是 A A. B. C. D.两者大小无法确定20.函数 ，则极限 （ C）.(A) 等于1 (B) 等于2 (C) 等于0 (D) 不存在21.函数在点 ( D ).(A) 有极大值 (B) 有极小

3、值 (C) 不是驻点 (D) 无极值22.二元函数在原点处（ A）.(A) 连续，但偏导不存在 (B) 可微(C) 偏导存在，但不连续 (D) 偏导存在，但不可微23设，而，具有二阶连续导数，则（ B）.(A) (B) (C) (D) 24函数在点处连续是它在该点偏导存在的（ D）.(A) 必要而非充分条件 (B) 充分而非必要条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件25函数的极大值点是 （ D ）.(A) (B) (C) (D) 26设，则（B ）.(A) (B) (C) (D) 27极限（ B ）.(A) 等于 (B) 不存在 (C) 等于 (D) 存在且不等于及28若在点处的两个一阶偏导数存在，则（B ）.(A) 在点连续 (B) 在点连续 (C) (D) A,B,C都不对29. 设函数，则=（ A ）(A) (B)(C) (D)30. 已知（ C ）（A） （B） （C） （D）31函数z=的定义域是（ D ）（A.） D=(x,y)|x2+y2=1（B.）D=(x,y)|x2+y21（C.） D=(x,y)|x2+y21（D.）D=(x,y)|x2+y2132设

4、，则下列式中正确的是（ C ）； ； ； ； 33设，则（ D ）； ； ； ； 34已知，则（ C ）； ； ； 35. 设，则（ B ）（A）6 （B）3 （C）-2 （D）2. 36.设（ B ）（A） （B） （C） （D）37. 设由方程确定的隐函数（ B ）（A） （B） （C） （D）38. 二次函数 的定义域是（ D ） A. 1 4； B. 1 4； C. 1 4； D. 1 4。39. 在点处的偏导数和连续是可微分的（ B ） A.充分必要条件； B.充分非必要条件； C.必要非充分条件； D.非充分又非必要条件。40. 抛物面 上点P处的切平面平行于平面 ，则点P的坐标是（ C ） A. ； B. ； C. ； D. 41. 设 ，则（ B ） A. ； B. ； C. ； D. 。42. 设二元函数 的极小值点是（ A ）A.（1，0）； B.（1，2）； C.（-3，0）； D.（-3，2）43. 设（ B ） （A）0 （B） （C）-1 （D）144. 设是由方程决定的隐函数，则（ D ）（A） （B） （C） （D）45. 设( B )（A） （B） （

5、C） （D）二、填空题1. 2. 函数u=ln ()在点M(1, 2, -2)的梯度gradu= 1, 2, -23. 24. 已知是可微函数，则5. = 46设，则 7曲线在点处的切线与Y轴的正向夹角是 8设，则 9函数的间断点是 10函数在点沿方向的方向导数是 11. 函数的定义域是12.二元函数的定义域是13函数在原点沿方向的方向导数为 14.函数的定义域是15.曲面在点处的法线方程为 16极限 17若，则 18设有函数，则 19.函数的极大值点是 20设函数则方向导数 21设函数 22曲面上一点（1，-1，3）处的切平面方程为 23. 在点P（0,1,3）处的切平面方程 2y+z=5 ，法线方程 24、设，则全微分dz= 25、设z= 26、已知 27. = 28. 已知，则 29. 已知,则 三、计算与证明1. 设z=f (x+y, xy)的二阶偏导数连续, 求 解：= = 2.求平面和柱面的交线上与xoy平面距离最短的点解：设(x, y, z)是交线上任一点，由已知，距离函数f (x, y, z)=z 又设 令： (1) 与(2)相比，得：，代入(5), 得：；相应的有：

6、从而得交线上的两点：， 其中：点到xoy平面的距离是 点到xoy平面的距离是比较得：所求点是3.证明极限不存在证明：当(x, y)沿着曲线=x趋于(0, 0)时， 当(x, y)沿着曲线2=x趋于(0, 0)时， 所以，极限不存在 4.设z=xf (xy, ), 求 解：= = 5. 求曲线x= t-sint, y=1-cost, z=4, 在点M(, 1, )处的切线及法平面方程解：因为=1-cost, =sint, = 而点M(, 1, )所对应的参数为t= 点M的切向量=1, 1, 故点M处的切线方程为 点M处法平面方程为: x+y+z= 6. 求曲面在点(2, 1, 0)处的切平面方程及法线方程解：令F(x, y, z)= 则故 因此:点(2, 1, 0)处的切平面方程为x-2+2(y-1)=0,即：x+2y-4=0 点(2, 1, 0)处的法线方程为7. 已知z=ysin(x+y),求全微分dz及梯度gradz解：， 故：dz=ycos(x+y)dx+sin(x+y)+ycos(x+y)dy gradz=( ycos(x+y), sin(x+y)+ycos(x+y) 8. 设直线在平面上，而平面与曲面相切于点M(1, -2, 5), 求a,b之值解：点M处曲面的法向量n=2x, 2y, -1=2,-4,-1 点M处切平面方程为2(x-1)-4(y+2)-(z-5)=0 即: 2x-4y-z-5=0, 此即平面之方程

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