泰勒公式的证明及其应用

1、 泰勒公式的证明及其应用 泰勒公式的证明及其应用数学与应用数学专业 胡心愿摘 要泰勒公式的相关理论是函数逼近论的基础。本文主要探索的是泰勒公式的一些证明方法，并对不同的证明方法进行相应的比较分析，在此基础上讨论泰勒公式在证明不等式、求函数极限、求近似值、求行列式的值、讨论了函数的凹凸性，判别拐点，判断级数敛散性等方面的应用.本文还针对多元函数的泰勒公式的推导和应用做了简单的论述.关键词泰勒公式；不等式；应用；Proof of Taylors Formula and Its ApplicationMathematics and Appliced Mathematics Major HU Xin-yuanAbstract: The theory about Taylors Formula is the basic content of Approximation Theory . What this paper explores is some methods that proof the Taylors Formula, and the paper analyse and compare

2、 them. On that basis, the paper discuss the application of Taylors Formula in some respects，such as Inequality proof, functional limit, approximate value, determinant value, convexity-concavity of function, the decision of inflection point, divergence of the series.The paper explore the derivation of Taylors Formula of the function of many variables and its application.Key words:Taylors Formula;inequality;application 目录 1 泰勒公式.1 1.1 泰勒定理的证明过程.1 2 余项估计.2 2.1 泰勒中值定理.2 2.2 拉格朗日余项.3 2.3 柯西余项.6 2.4 积

3、分余项.7 3 泰勒公式的应用.9 3.1 利用泰勒公式证明不等式.9 3.1.1 泰勒公式在含有定积分的不等式中的应用.9 3.1.2 泰勒公式在含有导函数的不等式中的应用.10 3.2 利用泰勒公式求函数值与函数极限.11 3.3 利用泰勒公式讨论函数的凹凸性，判别拐点.12 3.4 判断级数的敛散性.14 3.5 利用泰勒公式求行列式的值.15 4 多元函数的泰勒公式.16 4.1 二元函数泰勒公式的证明.17 4.2 二元函数泰勒公式的应用.18 结束语.19 参考文献.19 致谢.20 1泰勒公式是数学分析的一个重要内容，它将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数，分析比较它的各种证明方法和归纳其各种应用是本文的主要内容.关于泰勒公式的证明主要是讨论泰勒余项.1 泰勒定理 若函数在处存在阶导数，则，有 其中，即是比的高阶无穷小.式称为在（展开）的泰勒公式.1.1 泰勒定理的证明过程由高阶无穷小的定义知，若要证明，只需要证明因为这是的待定型，可以应用次的洛必达法则来证明. 因为当时，以及（） 都是无穷小,所以由洛必达法则，有 ，将带入上式得 ，因此，可以得到 .2 余项估计

4、泰勒定理中给出的余项称为佩亚诺余项.佩亚诺余项只是给出来余项的定性描述，它不能估算余项的数值.还需要进一步的进行定量描述.2.1 泰勒中值定理泰勒中值定理1 若函数在内存在阶导数，函数在以与为端点的闭区间连续，在其开区间可导，且，则与之间至少存在一点，使 其中.证明 的泰勒多项式.我们记,则 .可以看出函数与在闭区间连续，在其开区间可导，且可以看出.应用柯西中值定理有：与之间至少存在一点，使 ,其中.2.2 拉格朗日余项若函数在内为存在阶的连续导数，则有 称为拉格朗日余项，其中在与之间，称式为在的带拉格朗日余项的泰勒公式.当时，式变成,其中在0与之间，称此式为带拉格朗日余项的麦克劳林公式.拉格朗日余项有四种常见的证明方法.(1)利用泰勒中值定理证明根据柯西中值定理我们有如下的证明方法.因为 其中.函数在以与为端点的闭区间连续，在其开区间可导，且.取，满足定理要求，有，,将它们代入之中，有，在与之间.（2）利用柯西中值定理证明根据柯西中值定理我们有如下的证明方法.首先记，且.建立辅助函数且，可得.在区间（不妨设）运用柯西中值定理得.将代入上式可得 ,其中即为在处的次泰勒多项式，记为.故得

5、.(3) 利用罗尔定理证明根据罗尔定理我们有如下的证明方法.对于给定的，不妨设，并设并做辅助函数.因为在内具有直到阶连续导数，故在上连续可导，且.由罗尔定理得，使，即 ，由此解得，亦即.(4) 利用积分余项推导根据已知的积分余项我们可以有如下的证明方法.我们已知积分型余项.由于连续，在（或）上同号,由积分中值定理得.比较分析证明拉格朗日余项的四种方法，可以看出都是利用中值定理（泰勒中值定理、柯西中值定理、罗尔定理、积分中值定理）来进行证明的.前三种的关键都是找到合适的辅助函数，而第四种方法是应用已知道积分余项来推导，主要是依据了推广的积分中值定理.2.3 柯西余项若函数在内存在阶的连续导数，则有 ，其中在与之间，称式为在带柯西余项的泰勒公式.当时，式变成，其中，称此式为带柯西余项的麦克劳林公式.柯西余项有两种常见的证明方法.(1) 利用泰勒中值定理证明根据泰勒中值定理我们有如下的证明方法.做辅助函数，它满足泰勒中值定理的要求，有 将他们代入，有，在与之间.（2） 利用柯西中值定理证明根据柯西中值定理我们有如下的证明方法.记，且.做辅助函数，且,在区间（不妨设）运用柯西中值定理.把代入上式可得 其中为在处的n次泰勒多项式，记为.故有比较分析柯西余项的两种证明方法，容易得知证明方法大致与拉格朗日余项的前两种证明方法类似，依据的是柯西中值定理和泰勒中值定理，关键依然是找到合适的辅助函数.2.4 积分余项若函数在内存在阶的连续导数，则有 称式为在带积分余项的泰勒公式.积分型余项有两种常见的证明方法.(1) 利用莱布尼茨公式证明根据莱布尼茨公式我们有如下的证明方法.我们有 ，由上式可得到（2） 利用分部积分法证明根据分部积分法我们有如下的证明方法.因为在内具有直到阶连续导数 ，令（或）. 由分部积分法有，所以 .证明积分型余项的两种方法一种是运用牛顿-莱布尼茨公式，一种是利用推广的分部积分的方法，都是浅显易懂的.3 泰勒公式的应用泰勒公式在近似计算中有着独特的优势，故而有着较为

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