福建师范大学22春《复变函数》补考试题库答案参考43
13页1、福建师范大学22春复变函数补考试题库答案参考1. 一个概率为0或概率为1的事件是一个几乎确定的事件,因而与任一随机事件独立,这种说法是否成立?一个概率为0或概率为1的事件是一个几乎确定的事件,因而与任一随机事件独立,这种说法是否成立?成立我们可严格地表述为:设P(A)=0或1,则A与任一事件B独立不妨设P(A)=0(P(A)=1同样可证),P(A)且P(AB)=0,导致P(AB)P(A)=0,于是P(AB)=0,所以 P(AB)=0=P(A)P(B),此即A,B独立 2. 设f(x)在a,b上连续,且对一切不大于正整数N的非负整数n,都有abxnf(x)dx=0,试证f(x)在(a,b)内至少有N+1个设f(x)在a,b上连续,且对一切不大于正整数N的非负整数n,都有abxnf(x)dx=0,试证f(x)在(a,b)内至少有N+1个零点如果f(x)0,则结论显然成立 如果f(x)0,则可以证明,至少存在N+1个点x1,x2,xN+1(a,b),x1x2xN+1,使得f(x)在xk(k=1,2,N+1)的左、右邻域内符号相反事实上,假设这样的点只有m个,mN,不妨设x(a,x1)时,f(
2、x)0,x(x1,x2)时,f(x)0,依此类推令p(x)=(x1-x)(x2-x)(xm-x),则当x(a,b)时,f(x)p(x)0,且f(x)p(x)0,于是由f(x)p(x)的连续性知 abf(x)p(x)dx0 (1) 另一方面,由于p(x)是x的m次多项式,且mN,所以由题设条件得 abf(x)p(x)dx=0 但这与(1)式相矛盾,因此至少存在N+1个点x1,x2,xN+1属于(a,b),使得f(x)在xk(k=1,2,N+1)的左、右邻域内符号相反故由f(x)的连续性知f(x0)=0 (k=1,2,N+1)于是f(x)在(a,b)内至少有N+1个零点 3. 已知向量a=2,1,1),若向量b与a平行,且ba=3,则b=_;已知向量a=2,1,-1),若向量b与a平行,且ba=3,则b=_;4. 初等函数是否必定存在原函数?初等函数是否必定存在原函数?5. 函数y=x21 的驻点是 x=_.函数y=x2-1 的驻点是 x=_.参考答案:06. 设f(x)满足f(x)+f(x)g(x)-f(x)=0,其中g(x)为任一函数。证明:若f(x0)=f(x1)=0(x0x1),则
3、f(x)在x0设f(x)满足f(x)+f(x)g(x)-f(x)=0,其中g(x)为任一函数。证明:若f(x0)=f(x1)=0(x0x1),则f(x)在x0,x1上恒等于0。正确答案:一定存在(x0x1)使f()=0则f()=f();若f()0则f()0应为f(x)的极小值点但f()0=f(x0)=f(x1)矛盾;若f()0则f()0应为f(x)的极大值点但f()0=f(x0)=f(x1)矛盾。故只能f()=0即f()=0再对x0及x1应用以上结论反复使用知f(x)在x0x1上恒等于0。一定存在(x0,x1),使f()=0,则f()=f();若f()0,则f()0,应为f(x)的极小值点,但f()0=f(x0)=f(x1),矛盾;若f()0,则f()0,应为f(x)的极大值点,但f()0=f(x0)=f(x1),矛盾。故只能f()=0,即f()=0,再对x0,及,x1应用以上结论,反复使用,知f(x)在x0,x1上恒等于0。7. (1)设f(x)=sinx,,试证在点x=0处fg(x)连续 (2)讨论函数在定义域内是否连续(1)设f(x)=sinx,,试证在点x=0处fg(x)连续(
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