福建师范大学22春《复变函数》补考试题库答案参考43
福建师范大学22春复变函数补考试题库答案参考1. 一个概率为0或概率为1的事件是一个几乎确定的事件，因而与任一随机事件独立，这种说法是否成立?一个概率为0或概率为1的事件是一个几乎确定的事件，因而与任一随机事件独立，这种说法是否成立?成立我们可严格地表述为：设P(A)=0或1，则A与任一事件B独立不妨设P(A)=0(P(A)=1同样可证)，P(A)且P(AB)=0，导致P(AB)P(A)=0，于是P(AB)=0，所以 P(AB)=0=P(A)P(B)，此即A，B独立 2. 设f(x)在a，b上连续，且对一切不大于正整数N的非负整数n，都有abxnf(x)dx=0，试证f(x)在(a，b)内至少有N+1个设f(x)在a，b上连续，且对一切不大于正整数N的非负整数n，都有abxnf(x)dx=0，试证f(x)在(a，b)内至少有N+1个零点如果f(x)0，则结论显然成立 如果f(x)0，则可以证明，至少存在N+1个点x1，x2，xN+1(a，b)，x1x2xN+1，使得f(x)在xk(k=1，2，N+1)的左、右邻域内符号相反事实上，假设这样的点只有m个，mN，不妨设x(a，x1)时，f(x)0，x(x1，x2)时，f(x)0，依此类推令p(x)=(x1-x)(x2-x)(xm-x)，则当x(a，b)时，f(x)p(x)0，且f(x)p(x)0，于是由f(x)p(x)的连续性知 abf(x)p(x)dx0 (1) 另一方面，由于p(x)是x的m次多项式，且mN，所以由题设条件得 abf(x)p(x)dx=0 但这与(1)式相矛盾，因此至少存在N+1个点x1，x2，xN+1属于(a，b)，使得f(x)在xk(k=1，2，N+1)的左、右邻域内符号相反故由f(x)的连续性知f(x0)=0 (k=1，2，N+1)于是f(x)在(a，b)内至少有N+1个零点 3. 已知向量a=2，1，1)，若向量b与a平行，且b·a=3，则b=_；已知向量a=2，1，-1)，若向量b与a平行，且b·a=3，则b=_；4. 初等函数是否必定存在原函数?初等函数是否必定存在原函数?5. 函数y=x21 的驻点是 x=_.函数y=x2-1 的驻点是 x=_.参考答案：06. 设f(x)满足f"(x)+f(x)g(x)-f(x)=0，其中g(x)为任一函数。证明：若f(x0)=f(x1)=0(x0x1)，则f(x)在x0设f(x)满足f"(x)+f(x)g(x)-f(x)=0，其中g(x)为任一函数。证明：若f(x0)=f(x1)=0(x0x1)，则f(x)在x0，x1上恒等于0。正确答案：一定存在(x0x1)使f"()=0则f()=f"()；若f()0则f"()0应为f(x)的极小值点但f()0=f(x0)=f(x1)矛盾；若f()0则f"()0应为f(x)的极大值点但f()0=f(x0)=f(x1)矛盾。故只能f()=0即f"()=0再对x0及x1应用以上结论反复使用知f(x)在x0x1上恒等于0。一定存在(x0,x1),使f"()=0,则f()=f"()；若f()0,则f"()0,应为f(x)的极小值点,但f()0=f(x0)=f(x1),矛盾；若f()0,则f"()0,应为f(x)的极大值点,但f()0=f(x0)=f(x1),矛盾。故只能f()=0,即f"()=0,再对x0,及,x1应用以上结论,反复使用,知f(x)在x0,x1上恒等于0。7. (1)设f(x)=sinx,，试证在点x=0处fg(x)连续 (2)讨论函数在定义域内是否连续(1)设f(x)=sinx,，试证在点x=0处fg(x)连续 (2)讨论函数在定义域内是否连续(1)由题意有 因此fg(x)处处连续，自然fg(x)也在x=0点处连续 (2)当0xe时，有 当xe时，有 于是有 又由于 可知f(x)在x-=e点连续，从而f(x)的定义域x0上连续 8. 设 都是有理数域Q上的多项式 求u(x)，v(x)Qx，使得设 都是有理数域Q上的多项式 求u(x)，v(x)Qx，使得 对f(x)与g(x)施行辗转相除法 由此知x2-2是f(x)与g(x)的最大公因式，而 从而有u(x)=-(x+1),v(x)=x+2. 9. 把一个多项式进行因式分解是有固定统一的方法，即辗转相除法。( )把一个多项式进行因式分解是有固定统一的方法，即辗转相除法。( )正确答案： ×10. 设A=(aij)n×n，试证下列等式成立：若|A|0，则(A*)*=|A|n-2A设A=(aij)n×n，试证下列等式成立：若|A|0，则(A*)*=|A|n-2A证明因A*=|A|A-1，故 (A*)*=|A*|(A*)-1=|A|n-1(|A|-1A)=|A|n-2A 11. 试给出函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件试给出函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件必要性 设函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，由于点x关于x=a对称的对称点为2a-x， 故有f(x)=f(2a-x) 令x=t+a，则f(t+a)=f(a-t)，即f(x+a)=f(a-x) 充分性显然 因此f(x+a)=f(a-x)是函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件 12. 假设目标出现在射程之内的概率为0.7，这时射击命中目标的概率为0.6，试求两次独立射击至少有一次命中目标的概假设目标出现在射程之内的概率为0.7，这时射击命中目标的概率为0.6，试求两次独立射击至少有一次命中目标的概率p0.58813. 如果一条直线与它在仿射变换下的像重合，则称这条直线为的不动直线，求仿射变换的不动直线。如果一条直线与它在仿射变换下的像重合，则称这条直线为的不动直线，求仿射变换的不动直线。设(l)=l'：ax'+by'+c=0,其中l:ax+by+c=0，即'+c=0，'=(a，b)，所以 = 即 且 再由 (ax+by+c=0)=l':ax'+by'+c=0 得不动直线为20x-5y-8=0和2x-2y-5=0。 14. 设有任意两个n维向量组1，m和1，,m，若存在两组不全为零的数1，m和k1，km，使(1+k1)1+(m+km)m设有任意两个n维向量组1，m和1，,m，若存在两组不全为零的数1，m和k1，km，使(1+k1)1+(m+km)m+(1-k1)1+(m-km)m=0，则( ) A1，m和1，m都线性相关 B1，m和1，m都线性无关 C1+1，m+m，1-1，m-m线性无关 D1+1，m+m，1-1，m-m线性相关D15. 试用矩阵指数函数法求解下列齐次微分方程组试用矩阵指数函数法求解下列齐次微分方程组特征方程 有2重特征根=0 直接利用矩阵指数函数式 通解为或x=(1+2t)c1+4tc2，y=-tc1+(1-2t)c2其中c1，c2为任意常数$特征方程为 得单根=0，2重特征值=1 对应=0的特征向量满足 ， 其中0为任意常数对应2重特征值=1的特殊向量满足 其中，是不全为零的任意常数 对初值条件x(0)=有=u+v，即 ， 由矩阵指数函数式得方程满足初值条件x(0)=的解 x=u+etE+t(A-E)v 依次取为(1，0，0)T，(0，1，0)T，(0，0，1)T可得 $特征方程为 得单根=1，2重特征值=2 对应=1的特征向量满足 其中0为任意常数对应2重特征值=2的特殊向量v满足 ， 其中，是不全为零的任意常数 对初值条件x(0)=有=u+v，即 由矩阵指数函数式得方程满足初值条件x(0)=的解 x=etu+e2tE+t(A-2E)v 依次取为(1，0，0)T，(0，1，0)T，(0，0，1)T可得 16. 设某养老金计划参加者具体的存款方式为：在2529岁时，每月存款200元；在3039岁时，每月存款300元；在4049岁时设某养老金计划参加者具体的存款方式为：在2529岁时，每月存款200元；在3039岁时，每月存款300元；在4049岁时，每月存款500元；在5059岁时，每月存款1000元在年利率i=10%下，分别对不同年龄的计划参加者计算月退休金年利率i=10%，因此有，=271.0244， (1)恰好在25岁开始加入养老金计划，则60岁以后的月退休金为 即每月领取约10580元的退休金，直至80岁 (2)从30岁开始加入养老金计划，则60岁以后的月退休金为 即每月领取约8078元的退休金，直至80岁 (3)从40岁开始加入养老金计划，则60岁以后的月退休金为 即每月领取约4300元的退休金，直至80岁 17. 若矩阵A可逆，则(2A)-1=2A-1( )若矩阵A可逆，则(2A)-1=2A-1( )参考答案：错误错误18. 向量组1，2，k含有零向量，则该向量组必然线性相关 向量组1，2，k线性相关，则必然含有零向量？向量组1，2，k含有零向量，则该向量组必然线性相关 向量组1，2，k线性相关，则必然含有零向量？例 设1=(1，2，4)，2=(2，4，8)，易知1，2线性相关，但1，2中不含零向量19. 有一矩形薄板，其中板的一组对边绝热，而另一组对边中，一边的温度保持零度，另一边保持常温u0，那么此矩形板的有一矩形薄板，其中板的一组对边绝热，而另一组对边中，一边的温度保持零度，另一边保持常温u0，那么此矩
