因式分解(选读)
7页1、好方法个性化教育专家,有效提高学习成绩!知识梳理考点一 因式分解的概念 把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种恒等变形叫做因式分解1. 因式分解的实质是一种恒等变形,是一种化和为积的变形.多项式 几个整式的积2. 因式分解与整式乘法是互逆的.因式分解一、多项式整式乘积一整式乘法.3. 在因式分解的结果中,每个因式都必须是整式.如x+l=x(l+l/x)。种变形就不是因式分解。4. 因式分解要分解到不能再分解为止。考点二 因式分解的基本方法1. 提公因式法:如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成两个 因式乘积的形式。其中一个因式是各项的公因式,另一个因式是多项式除以公因式所得的商,即:ma + mb + mc=m (a + b + c)。提公因式法的关键是确定公因式,找公因式的方法:一看系数,二看相同字母或因式。2. 运用公式法平方差公式:a2 -b2=(a + b)(a-b)。完全平方公式:a2 + 2ab + b2 = (a + b)2,a2 - 2ab + b2 = (a - b) 运用公式法首先观察项数,若是二项式,应考虑平方差公式;若是三项式
2、,则考虑完全平方公式,然 后观察各项的次数、系数是否符合公式的特征。3. 分组分解法:ma + mb + na + nb=m(a + b) + n(a + b) = (a + b)(m + n)在实际应用中,分组分解的形式有很多种。如Q分组后能提公因式;Q分组后能用公式。四项式的分 组有两种方式:一、三分组和二、二分组。一、三分组主要运用完全平方公式和平方差公式;而二、 二分组则既可运用提公因式法,又可平方差公式和提公因式法混合使用。4. 十字相乘法:X2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) 用这种方法要先把待分解的多项式整理成左边的二次三项式。 分组分解法和十字相乘法新课标已不作要求,但可以了解一下,对整式运算变形有很大的帮助。5. 二次三项式ax2 + bx + c在实数范围内分解为:ax2 + bx + c = a(x - x )(x - x ),其中x、x是方程ax21 2 1 2+ bx + c = 0的两根考点三 因式分解的一般步骤先看有没有公因式,若有,立即提出;然后看看是几项式,若是二项式,看能否用平方差公式 若是三项式看能否用完全平方公式
3、或十字相乘法;若是四项及以上的式子考虑用分组分解法,要注 意分解到不能再分解为止,还要注意题目要求在什么范围内分解。让每一个学生成功的背后,逸思EAS国际教育机构都闪烁着好方法教育团队的智慧!如X4 -4=(x2 + 2)(x2 - 2)(在有理数范围内分解)=(x2 + 2)(x +眾)(x -)(在实数范围内分解)。一般没有作说明,都只分解到有理数范围内,以上步骤可以总结为“一提二套三分组”。知识归纳易混点一 因式分解和整式乘法的区别 因式分解的对象是整式中的多项式,通过恒等变形,把它化成几个整式积的形式。这与整式乘法过 程相反。易混点二 因式分解的一般步骤 通过观察多项式的特点来选择合适的因式分解的方法,如果多项式各项有公因式,首先要提取公因 式再进一步因式分解。易混点三 完全平方公式、平方差公式中字母的意义 公式中的字母,不仅表示一个数,字母还可以表示单项式,多项式。a22ab+ b2= (ab)2即( )22( )( )+ ( )2=( )( )2.a2- b2= (a+ b)(a- b)即( )2- ( )2=( )+ ( )( )- ( ).典型例题】 1. ax2-6a
4、x+9a2. (x-1)(x-2)-63. -4x3y3+8x2y2-4xy4. x4-y4方法技巧方法一对于只有两项的多项式应选择平方差公式a2 - b2=(a + b)(a - b)进行分解。例1分解因式 x4-81让每一个学生成功的背后,逸思EAS国际教育机构都闪烁着好方法教育团队的智慧!【解析】 原式=(x2) 2-92=(x2+9)(x2-9)=(x2+9)(x+3)(x-3)【点悟】分解因式时应分解到底例24(a+b)2-9(a-b)2【解析】原式=2(a+b)+3(a-b) 2(a+b)-3(a-b)=(2a+2b+3a-3b)(2a+2b-3a+3b)=(5a-b)(5b-a)【点悟】灵活套用完全平方公式。方法二对于只有三项的多项式应选择完全平方公式a22ab+b2=(ab) 2或公式X2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 进行分解例3分解因式(a+1) 2+2(a+l)+l【解析】原式=(a+l+l)2 =(a+2)2方法三对于四项及多于四项的多项式应选择分组分解法进行分解例4分解因式 ab-a+b-l【解析】原式=(ab-a)+(b-1)=a(b-1)+(b
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