因式分解(选读)

好方法个性化教育专家，有效提高学习成绩!知识梳理考点一 因式分解的概念 把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种恒等变形叫做因式分解1. 因式分解的实质是一种恒等变形,是一种化和为积的变形.多项式 几个整式的积2. 因式分解与整式乘法是互逆的.因式分解一、多项式整式乘积一整式乘法.3. 在因式分解的结果中，每个因式都必须是整式.如x+l=x(l+l/x)。种变形就不是因式分解。4. 因式分解要分解到不能再分解为止。考点二 因式分解的基本方法1. 提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成两个 因式乘积的形式。其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是多项式除以公因式所得的商，即：ma + mb + mc=m (a + b + c)。提公因式法的关键是确定公因式，找公因式的方法：一看系数，二看相同字母或因式。2. 运用公式法平方差公式：a2 -b2=(a + b)(a-b)。完全平方公式：a2 + 2ab + b2 = (a + b)2,a2 - 2ab + b2 = (a - b) 运用公式法首先观察项数，若是二项式，应考虑平方差公式；若是三项式，则考虑完全平方公式，然 后观察各项的次数、系数是否符合公式的特征。3. 分组分解法：ma + mb + na + nb=m(a + b) + n(a + b) = (a + b)(m + n)在实际应用中，分组分解的形式有很多种。如Q分组后能提公因式；Q分组后能用公式。四项式的分 组有两种方式：一、三分组和二、二分组。一、三分组主要运用完全平方公式和平方差公式；而二、 二分组则既可运用提公因式法，又可平方差公式和提公因式法混合使用。4. 十字相乘法：X2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) 用这种方法要先把待分解的多项式整理成左边的二次三项式。 分组分解法和十字相乘法新课标已不作要求，但可以了解一下，对整式运算变形有很大的帮助。5. 二次三项式ax2 + bx + c在实数范围内分解为：ax2 + bx + c = a(x - x )(x - x ),其中x、x是方程ax21 2 1 2+ bx + c = 0的两根考点三 因式分解的一般步骤先看有没有公因式，若有，立即提出；然后看看是几项式，若是二项式，看能否用平方差公式 若是三项式看能否用完全平方公式或十字相乘法；若是四项及以上的式子考虑用分组分解法，要注 意分解到不能再分解为止，还要注意题目要求在什么范围内分解。让每一个学生成功的背后,逸思EAS国际教育机构都闪烁着好方法教育团队的智慧!如X4 -4=(x2 + 2)(x2 - 2)(在有理数范围内分解)=(x2 + 2)(x +眾)(x -)(在实数范围内分解)。一般没有作说明，都只分解到有理数范围内，以上步骤可以总结为“一提二套三分组”。知识归纳易混点一 因式分解和整式乘法的区别 因式分解的对象是整式中的多项式，通过恒等变形，把它化成几个整式积的形式。这与整式乘法过 程相反。易混点二 因式分解的一般步骤 通过观察多项式的特点来选择合适的因式分解的方法，如果多项式各项有公因式，首先要提取公因 式再进一步因式分解。易混点三 完全平方公式、平方差公式中字母的意义 公式中的字母，不仅表示一个数，字母还可以表示单项式，多项式。a2±2ab+ b2= (a±b)2即( )2±2( )( )+ ( )2=( )±( )2.a2- b2= (a+ b)(a- b)即( )2- ( )2=( )+ ( )( )- ( ).典型例题】 1. ax2-6ax+9a2. (x-1)(x-2)-63. -4x3y3+8x2y2-4xy4. x4-y4方法技巧方法一对于只有两项的多项式应选择平方差公式a2 - b2=(a + b)(a - b)进行分解。例1分解因式 x4-81让每一个学生成功的背后,逸思EAS国际教育机构都闪烁着好方法教育团队的智慧!【解析】 原式=(x2) 2-92=(x2+9)(x2-9)=(x2+9)(x+3)(x-3)【点悟】分解因式时应分解到底例24(a+b)2-9(a-b)2【解析】原式=2(a+b)+3(a-b) 2(a+b)-3(a-b)=(2a+2b+3a-3b)(2a+2b-3a+3b)=(5a-b)(5b-a)【点悟】灵活套用完全平方公式。方法二对于只有三项的多项式应选择完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b) 2或公式X2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 进行分解例3分解因式(a+1) 2+2(a+l)+l【解析】原式=(a+l+l)2 =(a+2)2方法三对于四项及多于四项的多项式应选择分组分解法进行分解例4分解因式 ab-a+b-l【解析】原式=(ab-a)+(b-1)=a(b-1)+(b-1)=(b-1)(a+1)【点悟】分组分解，提公因式2.分组后能运用公式例 5 分解因式 1a2+2ab-b2【解析】原式=1-(a2-2ab+b2)=1-(a-b)2=(1+a-b)(1-a+b) 【点悟】分组方法与完全平方公式结合运用。方法四 换元法。在数学运算中，将重复出现的两项或多项看成一个整体或者用一个新的字母来代替 它，从而使复杂的问题简化。例 6( x+1 ) (x+2)(x+4)(x+5)+2【解析】由于第一项中4个一次因式中常数项满足：1 + 5=2+4,将它们分别结合后，可得到只有常数 项不同的二次三项式，构成换元的条件，再把x2+6x或x2+6x+5看成一个整体，用字母来代替后，再进 行因式分解。原式=(x+1)(x+5)(x+2)(x+4)+2=(x2+6x+5)(x2+6x+8)+2设 x2+6x=m,将原式变为:(m+5)(m+8)+2=m2+13m+42=(m+6)(m+7)将 m=x2+6x 代入上式,得=(x2+6x+6)(x2+6x+7)=( x2+6x+6)(x+1)(x+6)【点悟】本题考查了整式乘法与因式分解这两种方向相反得运算.方法五巧用因式分解进行计算及运用例 7 计算:10012-2002+1让每一个学生成功的背后,逸思EAS国际教育机构都闪烁着好方法教育团队的智慧!【解析】观察到2002=2X1001,可直接用完全平方公式 原式=10012-2X 1001+1=(1001-1)2=106点悟】本题考察对完全平方公式的灵活运用能力.易错题型清单易错题一提公因式时,有的项”不翼而飞”例一分解因式:3x2+5xy+x【解析】原式=x(3x+5y+1)错因透视原多项式是三项式,提出公因式后,括号内的项数也应是三项,第三项应为 1.提公因式后容易漏 掉.易错题二在分解因式时未分解完,而”半途而废”例二分解因式:9x2(m-n)+y2(n-m)【解析】原式=9x2(m-n)-y2(m-n)=(m-n)(9x2-y2)=(m-n)(3x+y)(3x-y)错因透视因式分解的要求是必须在指定的范围内把每一个多项式因式分解到不能分解为止 ,不能半途而废,这里9x2-y2还能再分解为(3x+y)(3x-y)易错题三因式分解和合并因式混乱”走回头路”例三分解因式(x2+3x)2-2(x2+3x)-8【解析】视(x2+3x)为一个整体，则原式=( x2+3x-4)(x2+3x+2)=(x+4)(x-1)(x+2)(x+1)=(x+4)(x2-1)(x+2)=(x+4)(x-1)(x+1)(x+2)错因透视上述解法最后一步把(x-1)(x+1)的积又化为一个整式x2-1,这是整式乘法运算，这种”走回头路” 的原因是因式分解的概念没有真正理解.易错题四臆断猜想造成”无中生有”例四分解因式:1/2x2-xy+1/2y2【解析】原式=1/2(x2-2xy+y2)=1/2(x-y)2错因透视因式分解是恒等变形,在变形时不能与解方程的同解变形混淆,解法中”无中生有”将各项都 乘以”2”而导致错误.易错题五概念不明意义不清例5把(x2-x)2-8x2+12分解因式让每一个学生成功的背后，都闪烁着好方法教育团队的智慧！4逸思EAS国际教育机构www.haofangfa.com働归方法【解析】原式=(x2-x)2-8(x2-x)+12=(x2-x-6)(x2-x-2)=(x+1)(x-2)(x+2)(x-3)错因透视因式分解的最后结果必须是几个整式的积 ,尽管第一项是积的形式,但从整体上来看还是”和” 的形式,部分的乘积形式不能算作因式分解,这是对因式分解的意义理解不清楚而造成的错误,正确答案为 (x+1)(x-2)(x+2)(x-3).易错题六“以积代幂”分解因式 x3-y3+x2y-xy2【解析】原式=(x3-xy2)+(x2y-y3)=x(x2-y2)+y(x2-y2)=(x+y)(x2-y2) =(x+y)(x+y)(x-y) =(x+y)2(x-y)1、因式分解方法一：对于只有两项的多项式，常选择平方差公式a 2 - b 2 = (a + b)(a - b)进行分解例：4(a + b)2 一 9(a 一 b)2原式=2(a + b)2 - 3(a b)2=2( a + b) + 3( a b )2( a + b) 3( a b)=(2 a + 2 b + 3 a 3 b)(2 a + 2 b 3 a + 3 b)=(5 a b )(5 b a)方法二：对于只有三项的多项式，常选择完全平方公式a 2 土 2ab + b2 = (a 土 b)2进行分解例：x4 一 2x2 y 2 + y 4例：(a + 1)2 + 2(a + 1) + 1原式=(x2 一 y 2 )2原式=(a + 1) + 12=(x + y)(x y)2= (a + 2)2=(x + y)2(x 一 y)2方法三：对于四项及多于四项的多项式应选择分解分组法进行分解1. 按公因式分解 例 1 分解因式 7x2-3y+xy+21x分析：第1、4项含公因式7x,第2、3项含公因式y,分组后又有公因式(x-3)，解：原式=(7x2-21x) + (xy-3y) =7x(x-3)+y(x-3)=(x-3)(7x+y).2按系数分解例 2 分解因式 x3+3x2+3x+9分析：第 1、 2 项和 3、 4 项的系数之比 1： 3，把它们按系数分组让每一个学生成功的背后,逸思EAS国际教育机构都闪烁着好方法教育团队的智慧!解；原式=(x3+3x2)+(3x+9) =X2(x+3) +3(x+3) =(x+3)(X2+3).3 按次数分组例3分解因式m2+2m n-3m-3n+n2.分析：第 1、2、5 项是二次项，第 3、4 项是一次项，按次数分组后能用公式和提取公因式解：原式=(m2+2m n+e)+(-3m-3n) =(m+n) 2-3(m+n) = (m+n)(m+n-3).4.按乘法公式分组例4分解因式a 2 - b 2 - ac + - c 24分析：第 1、3、4 项结合正好是完全平方公式，分组后又与第二项用平方差公式解：原式=(a2