点、直线与圆的位置关系(中考复习教案)

1、 点、直线与圆的位置关系（中考复习教案）一、 复习目标：1、 探索并了解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系；2、 理解不在同一直线上的三点确定一个圆；3、 掌握切线的判定定理及切线的性质定理，熟练运用它们解决一些具体的问题；二、 复习重点和难点：复习重点：1、熟练运用切线的判定定理和切线的性质定理解决一些具体的问题；2、掌握点、直线与圆的位置关系及其性质和判定方法。复习难点：1、利用切线的判定定理和切线的性质定理解决一些具体的问题；2、利用切线的性质和判定进行证明或计算时如何正确添加辅助线。三、复习过程：（一）知识梳理：1.点与圆的位置关系: 有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内.设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则 点在圆外dr 点在圆上d=r 点在圆内dr2.直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则直线与圆相交dr； 直线与圆相切d=r； 直线与圆相离dr3.切线的性质和判定 (1)切线的定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线叫做圆的切线 (2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径(3) 切线的判定方法一：经过半径的外端，并且垂直于这

2、条半径的直线是圆的切线(4) 切线的判定方法二：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。注意：证明一条直线是圆的切线的方法有两种：（1）当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“作半径，证垂直”；（2）当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂线，证半径”（二）典例精析：例1、如图，直线PA过半圆的圆心O，交半圆于A，B两点，PC切半圆与点C，已知PC=3，PB=1，则该半圆的半径为 【分析】连接OC，则由直线PC是圆的切线，得OCPC。设圆的半径为x，则在RtOPC中，PC=3，OC= x，OP=1x，根据地勾股定理，得OP2=OC2PC2，即（1x）2= x 232，解得x=4。即该半圆的半径为4。【学过切割线定理的可由PC2=PAPB求得PA=9，再由AB=PAPB求出直径，从而求得半径】例2、如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BCOA，P分别与OA、OC、BC相切于点E、D、B，与AB交于点F已知A（2，0），B（1，2），则tanFDE= 【分析】连接PB、PEP分别与

3、OA、BC相切于点E、B，PBBC，PEOA。BCOA，B、P、E在一条直线上。A（2，0），B（1，2），AE=1，BE=2。EDF=ABE，tanFDE=。例3、（1）如图，已知是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，,点在数轴上运动，若过点且与平行的直线与有公共点, 设，则的取值范围是(C)A11 B C0 D （2）如图，在RtABC中，C = 90，B = 30，BC = 4 cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，则C与AB的位置关系是（ ）A相离B相切 C相交D相切或相交例4、如图所示，AC为O的直径且PAAC，BC是O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，（1）求证：直线PB是O的切线；（2）求cosBCA的值【分析】（1）连接OB、OP，由，且D=D，根据三角形相似的判定得到BDCPDO，可得到BCOP，易证得BOPAOP，则PBO=PAO=90。（2）设PB，则BD=，根据切线长定理得到PA=PB，根据勾股定理得到AD=，又BCOP，得到DC=2CO，得到，则，利用勾股定理求出OP，然后根据余弦函数的定义即可求出cosBCA=cosPOA的值。【答案】（1）证明：连

4、接OB、OP 且D=D， BDCPDO。DBC=DPO。BCOP。BCO=POA ，CBO=BOP。OB=OC，OCB=CBO。BOP=POA。又OB=OA， OP=OP， BOPAOP（SAS）。PBO=PAO。又PAAC， PBO=90。 直线PB是O的切线 。（2）由（1）知BCO=POA。设PB，则BD=，又PA=PB，AD=。又 BCOP ，。 。 cosBCA=cosPOA=。 例5（内蒙古包头12分）如图，已知ABC=90，AB=BC直线l与以BC为直径的圆O相切于点C点F是圆O上异于B、C的动点，直线BF与l相交于点E，过点F作AF的垂线交直线BC与点D（1）如果BE=15，CE=9，求EF的长；（2）证明：CDFBAF；CD=CE；（3）探求动点F在什么位置时，相应的点D位于线段BC的延长线上，且使BC=CD，请说明你的理由【分析】（1）由直线l与以BC为直径的圆O相切于点C，即可得BCE=90，BFC=CFE=90，则可证得CEFBEC，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EF的长。（2）由FCD+FBC=90，ABF+FBC=90，根据同角的余角相等，即可得

5、ABF=FCD，同理可得AFB=CFD，则可证得CDFBAF。由CDFBAF与CEFBCF，根据相似三角形的对应边成比例，易证得，又由AB=BC，即可证得CD=CE。（3）由CE=CD，可得BC=CD=CE，然后在RtBCE中，求得tanCBE的值，即可求得CBE的度数，则可得F在O的下半圆上.解：（1）直线l与以BC为直径的圆O相切于点C，BCE=90，又BC为直径，BFC=CFE=90。CFE=BCE。FEC=CEB，CEFBEC。BE=15，CE=9，即：，解得：EF=。（2）证明：FCD+FBC=90，ABF+FBC=90，ABF=FCD。同理：AFB=CFD。CDFBAF。CDFBAF，。又CEFBCF，。又AB=BC，CE=CD。（3）当F在O的下半圆上，且=时，相应的点D位于线段BC的延长线上，且使BC=CD。理由如下：CE=CD，BC=CD=CE。在RtBCE中，tanCBE=，CBE=30，所对圆心角为60。F在O的下半圆上，且=。例6、（2010安顺）如图，O是ABC的外接圆，且AB=AC，点D在弧BC上运动，过点D作DEBC，DE交AB的延长线于点E，连接AD、B

6、D（1）求证：ADB=E；（2）当点D运动到什么位置时，DE是O的切线？请说明理由（3）当AB=5，BC=6时，求O的半径。 方法点拨：（1）根据平行线的性质和同弧所对的圆周角相等，等量代换即可得到ADB=E；（2）当点D运动到弧BC的中点时，DE是O的切线，利用切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。（3）连结BO、AO、并延长AO交BC于点F。据题意可得AFBC，然后在RtOBF中根据勾股定理即可求得O的半径为25/8。例7、在平面直角坐标系中，直线（k为常数且k0）分别交x轴、y轴于点A、B，O半径为个单位长度如图甲，若点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，且OA=OB求k的值；若b=4，点P为直线上的动点，过点P作O的切线PC、PD，切点分别为C、D，当PCPD时，求点P的坐标若，直线将圆周分成两段弧长之比为12，求b的值（图乙供选用） 【答案】根据题意得：B的坐标为（0，b），OA=OB=b，A的坐标为（b，0），代入ykxb得k1.过P作x轴的垂线，垂足为F，连结OD.PC、PD是O的两条切线，CPD=90，OPD=OPC=CPD=45，PDO=90，POD=OPD45，ODPD，OP=.P在直线yx4上，设P（m，m4），则OF=m，PF=m4，PFO=90， OF2PF2PO2， m2 (m4)2（）2，解得m=1或3，P的坐标为（1，3）或（3，1）分两种情形，yx，或yx。直线将圆周分成两段弧长之比为12，可知其所对圆心角为120，如图，画出弦心距OC，可得弦心距OC=，又直线中直线与x轴交角的正切值为，即，AC=，进而可得AO=，即直线与与x轴交于点（，0）所以直线与y轴交于点（，0），所以b的值为当直线与x轴、y轴的负半轴相交，同理可求得b的值为综合以上得：b的值为或

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