列一元二次方程解应用题经典题型透视
10页1、列一元二次方程解应用题经典题型透视江苏 刘顿同学们知道,学习了一元二次方程的解法以后,就会经常遇到解决与一元二次方程有关的生活中的应用问题,即列一元二次方程解应用题,不少同学遇到这类问题总是左右为难,难以下笔,事实上,同学们只要能认真地阅读题目,分析题意,并能学会分解题目,各个击破,从而找到已知的条件和未知问题,必要时可以通过画图、列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之间的关系,找到一个或几个相等的式子,从而列出方程求解,同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的十大典型题目,举例说明.一、增长率问题例1恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率.解设这两个月的平均增长率是x.,则根据题意,得200(120%)(1+x)2193.6,即(1+x)21.21,解这个方程,得x10.1,x22.1(舍去).答这两个月的平均增长率是10%.说明这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意
2、义,即可利用公式m(1+x)2n求解,其中mn.对于负的增长率问题,若经过两次相等下降后,则有公式m(1x)2n即可求解,其中mn.二、商品定价例2益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a元,则可卖出(35010a)件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元,需要进货多少件?每件商品应定价多少?解根据题意,得(a21)(35010a)400,整理,得a256a+7750,解这个方程,得a125,a231.因为21(1+20%)25.2,所以a2=31不合题意,舍去.所以35010a3501025100(件).答需要进货100件,每件商品应定价25元.说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题,也是各种考试的热点.三、储蓄问题例3王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税)解设第一次存款时
3、的年利率为x.则根据题意,得1000(1+x)500(1+0.9x)530.整理,得90x2+145x30.解这个方程,得x10.02042.04%,x21.63.由于存款利率不能为负数,所以将x21.63舍去.答第一次存款的年利率约是2.04%.说明这里是按教育储蓄求解的,应注意不计利息税.四、趣味问题例4一个醉汉拿着一根竹竿进城,横着怎么也拿不进去,量竹竿长比城门宽4米,旁边一个醉汉嘲笑他,你没看城门高吗,竖着拿就可以进去啦,结果竖着比城门高2米,二人没办法,只好请教聪明人,聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿,二人一试,不多不少刚好进城,你知道竹竿有多长吗?解设渠道的深度为xm,那么渠底宽为(x+0.1)m,上口宽为(x+0.1+1.4)m.则根据题意,得(x+0.1+x+1.4+0.1)x1.8,整理,得x2+0.8x1.80.解这个方程,得x11.8(舍去),x21.所以x+1.4+0.11+1.4+0.12.5.答渠道的上口宽2.5m,渠深1m.说明求解本题开始时好象无从下笔,但只要能仔细地阅读和口味,就能从中找到等量关系,列出方程求解.五、古诗问题例5读诗词解题:(通过列方
4、程式,算出周瑜去世时的年龄).大江东去浪淘尽,千古风流数人物;而立之年督东吴,早逝英年两位数;十位恰小个位三,个位平方与寿符;哪位学子算得快,多少年华属周瑜?解设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x,则十位数字为x3.则根据题意,得x210(x3)+x,即x2-11x+300,解这个方程,得x5或x6.当x5时,周瑜的年龄25岁,非而立之年,不合题意,舍去;当x6时,周瑜年龄为36岁,完全符合题意.答周瑜去世的年龄为36岁.说明本题虽然是一道古诗问题,但它涉及到数字和年龄问题,通过求解同学们应从中认真口味.六、象棋比赛例6象棋比赛中,每个选手都与其他选手恰好比赛一局,每局赢者记2分,输者记0分.如果平局,两个选手各记1分,领司有四个同学统计了中全部选 手的得分总数,分别是1979,1980,1984,1985.经核实,有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.解设共有n个选手参加比赛,每个选手都要与(n1)个选手比赛一局,共计n(n1)局,但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次,因此实际比赛总局数应为n(n1)局.由于每局共计2分,所以全部选手得分总共为n(n1)分.显然
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