初中几何辅助线大全最全
27页1、 .三角形中作辅助线的常用方法举例一、延长已知边构造三角形:例如:如图7-1:已知ACBD,ADAC于A ,BCBD于B, 求证:ADBC分析:欲证 ADBC,先证分别含有AD,BC的三角形全等,有几种方案:ADC与BCD,AOD与BOC,ABD与BAC,但根据现有条件,均无法证全等,差角的相等,因此可设法作出新的角,且让此角作为两个三角形的公共角。证明:分别延长DA,CB,它们的延长交于E点, ADAC BCBD (已知) CAEDBE 90 (垂直的定义) 在DBE与CAE中 DBECAE (AAS) EDEC EBEA (全等三角形对应边相等) EDEAECEB 即:ADBC。(当条件不足时,可通过添加辅助线得出新的条件,为证题创造条件。)二 、连接四边形的对角线,把四边形的问题转化成为三角形来解决。三、有和角平分线垂直的线段时,通常把这条线段延长。例如:如图9-1:在RtABC中,ABAC,BAC90,12,CEBD的延长于E 。求证:BD2CE 分析:要证BD2CE,想到要构造线段2CE,同时CE与ABC的平分线垂直,想到要将其延长。 证明:分别延长BA,CE交于点F。 BE
2、CF (已知) BEFBEC90 (垂直的定义)在BEF与BEC中, BEFBEC(ASA)CE=FE=CF (全等三角形对应边相等) BAC=90 BECF (已知) BACCAF90 1BDA901BFC90 BDABFC在ABD与ACF中 ABDACF (AAS)BDCF (全等三角形对应边相等) BD2CE四、取线段中点构造全等三有形。例如:如图11-1:ABDC,AD 求证:ABCDCB。分析:由ABDC,AD,想到如取AD的中点N,连接NB,NC,再由SAS公理有ABNDCN,故BNCN,ABNDCN。下面只需证NBCNCB,再取BC的中点M,连接MN,则由SSS公理有NBMNCM,所以NBCNCB。问题得证。证明:取AD,BC的中点N、M,连接NB,NM,NC。则AN=DN,BM=CM,在ABN和DCN中 ABNDCN (SAS) ABNDCN NBNC (全等三角形对应边、角相等)在NBM与NCM中 NMBNCM,(SSS) NBCNCB (全等三角形对应角相等)NBCABN NCBDCN 即ABCDCB。巧求三角形中线段的比值例1. 如图1,在ABC中,BD:DC1:
3、3,AE:ED2:3,求AF:FC。解:过点D作DG/AC,交BF于点G 所以DG:FCBD:BC因为BD:DC1:3 所以BD:BC1:4 即DG:FC1:4,FC4DG因为DG:AFDE:AE 又因为AE:ED2:3 所以DG:AF3:2即 所以AF:FC:4DG1:6例2. 如图2,BCCD,AFFC,求EF:FD解:过点C作CG/DE交AB于点G,则有EF:GCAF:AC因为AFFC 所以AF:AC1:2 即EF:GC1:2, 因为CG:DEBC:BD 又因为BCCD所以BC:BD1:2 CG:DE1:2 即DE2GC因为FDEDEF 所以EF:FD小结:以上两例中,辅助线都作在了“已知”条件中出现的两条已知线段的交点处,且所作的辅助线与结论中出现的线段平行。请再看两例,让我们感受其中的奥妙!例3. 如图3,BD:DC1:3,AE:EB2:3,求AF:FD。解:过点B作BG/AD,交CE延长线于点G。 所以DF:BGCD:CB因为BD:DC1:3 所以CD:CB3:4 即DF:BG3:4, 因为AF:BGAE:EB 又因为AE:EB2:3所以AF:BG2:3 即所以AF:DF例
4、4. 如图4,BD:DC1:3,AFFD,求EF:FC。解:过点D作DG/CE,交AB于点G所以EF:DGAF:AD因为AFFD 所以AF:AD1:2 图4即EF:DG1:2 因为DG:CEBD:BC,又因为BD:CD1:3, 所以BD:BC1:4即DG:CE1:4,CE4DG因为FCCEEF所以EF:FC1:7练习:1. 如图5,BDDC,AE:ED1:5,求AF:FB。2. 如图6,AD:DB1:3,AE:EC3:1,求BF:FC。 答案:1、1:10; 2. 9:1二 由角平分线想到的辅助线图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。角平分线具有两条性质:a、对称性;b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法,一般有两种。从角平分线上一点向两边作垂线;利用角平分线,构造对称图形(如作法是在一侧的长边上截取短边)。通常情况下,出现了直角或是垂直等条件时,一般考虑作垂线;其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法,要结合题目图形和已知条件。与角有关的辅助线(一)、截取构全等例
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