数值分析资料报告习题与问题详解
17页1、word第一章 绪论习题一1.设x0,x*的相对误差为,求f(x)=ln x的误差限。解:求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限,由公式(1.2.4)有x*的相对误差满足,而,故即2.如下各数都是经过四舍五入得到的近似值,试指出它们有几位有效数字,并给出其误差限与相对误差限。解:直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)如此得有5位有效数字,其误差限,相对误差限有2位有效数字,有5位有效数字,3.如下公式如何才比拟准确?12解:要使计算较准确,主要是防止两相近数相减,故应变换所给公式。124.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。5.计算取,利用:式计算误差最小。四个选项:第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限.解: 仍可使用n=1与n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计5.8。线性插值时,用0.5与0.6两点,用Newton插值误差限,因,故二次插值时,用0.5,0.6,0.7三点,作二次Newton插值误差限,故2. 在-4x4上给出的等距节点函数表,假如用二次插值法求
2、的近似值,要使误差不超过,函数表的步长h应取多少?解:用误差估计式5.8,令因得3. 假如,求和.解:由均差与导数关系于是4. 假如互异,求的值,这里pn+1.解:,由均差对称性可知当有而当Pn1时于是得5. 求证.解:解:只要按差分定义直接展开得6. 的函数表求出三次Newton均差插值多项式,计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解:根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3)由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表解:先构造差分表计算,用n=4得Newton前插公式误差估计由公式5.17得其中计算时用Newton后插公式5.18)误差估计由公式5.19得这里仍为8 求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解:这种题目可以有很多方法去做,但应以简单为宜。此处可先造使它满足,显然,再令p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2由p(2)=1
3、求出A ,于是9. 令称为第二类Chebyshev多项式,试求的表达式,并证明是-1,1上带权的正交多项式序列。解:因10. 用最小二乘法求一个形如的经验公式,使它拟合如下数据,并计算均方误差.解:此题给出拟合曲线,即,故法方程系数法方程为解得最小二乘拟合曲线为均方程为11. 填空题(1) 满足条件的插值多项式p(x)=().(2) ,如此f1,2,3,4=(),f1,2,3,4,5=().(3) 设为互异节点,为对应的四次插值基函数,如此(),().(4) 设是区间0,1上权函数为(x)=x的最高项系数为1的正交多项式序列,其中,如此(),()答:1234第4章数 值 积 分与数值微分习题41. 分别用复合梯形公式与复合Simpson公式计算如下积分.解此题只要根据复合梯形公式6.11与复合Simpson公式6.13直接计算即可。对,取n=8,在分点处计算f(x)的值构造函数表。按式6.11求出,按式6.13求得,积分2. 用Simpson公式求积分,并估计误差解:直接用Simpson公式6.7得由6.8式估计误差,因,故3. 确定如下求积公式中的待定参数,使其代数准确度尽量高,并指
4、明求积公式所具有的代数准确度.(1) (2) (3) 解:此题直接利用求积公式准确度定义,如此可突出求积公式的参数。1令代入公式两端并使其相等,得解此方程组得,于是有再令,得故求积公式具有3次代数准确度。2令代入公式两端使其相等,得解出得而对不准确成立,故求积公式具有3次代数准确度。3令代入公式准确成立,得解得,得求积公式对故求积公式具有2次代数准确度。4. 计算积分,假如用复合Simpson公式要使误差不超过,问区间要分为多少等分?假如改用复合梯形公式达到同样准确度,区间应分为多少等分?解:由Simpson公式余项与得即,取n=6,即区间分为12等分可使误差不超过对梯形公式同样,由余项公式得即取n=255才更使复合梯形公式误差不超过5. 用Romberg求积算法求积分,取解:此题只要对积分使用Romberg算法6.20,计算到K3,结果如下表所示。6 用三点Gauss-Legendre求积公式计算积分.解:此题直接应用三点Gauss公式计算即可。由于区间为,所以先做变换于是此题准确值7 用三点Gauss-Chebyshev求积公式计算积分解:此题直接用Gauss-Chebyshev求
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