专题10 计数原理(解析版)

1、专题 10 计数原理【要点提炼】1. 分类加法计数原理做一件事，完成它有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类 办法中有m2种不同的方法， ，在第n类办法中有mn种不同的方法.则完成 这件事共有N=m、+m2mn种不同的方法.12M2. 分步乘法计数原理做一件事，完成它需要分成 n 个步骤，做第一个步骤有 m1 种不同的方法，做第 二个步骤有m2种不同的方法，做第n个步骤有mn种不同的方法那么完 成这件事共有N=m、Xm2XXmn种不同的方法.12n3. 分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问 题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法 计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完 成这件事.4.排列与组合的概念名称定义排列从n个不同兀素中取出m(mWn)个不同兀素按照一定的顺序排成一列组合合成一组5. 排列数与组合数从n个不同元素中取出m(mWn)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元 素中取出m个元素的排列数.从n个不同元素中取出m(mWn)个元素的所有组合的个数,叫做从n个

2、不同元 素中取出m个元素的组合数.6. 排列数、组合数的公式及性质公式,，八n!(1) Amn(nl)(n 2)(nm+1)() !.Am n (n1)(n 2)(nm+1)(2) Cm一 A 一v 7 nAmm!mn ！-/ 一/一 WT口 一、At匕Cc1-m!(n-m)! (n，meN+，且mn).特别地C0 j性质(1) 0!=1； An=n!.(2) Cm = C-m； Cm = Cm + Cm-1 nnn + 1nn考向一 计数原理考向一 分类加法计数原理的应用【典例 1】 (1)从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有 8 班汽车、2 班火车和 2 班飞机 . 一天一人从甲地去乙地，共有 种不同的方法 .满足a, be-1, 0, 1, 2，且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序 数对(a, b)的个数为.解析 (1)分三类：一类是乘汽车有 8 种方法；一类是乘火车有 2 种方法；一类是乘飞机有2种方法，由分类加法计数原理知，共有8 + 2 + 2=12(种)方法.(2) 当a = 0时，b的值可以是一1, 0, 1, 2,故(a, b)的个数为4；当aHO时，

3、要使方程ax2+2x+b = 0有实数解，需使A=4-4ab0,即abW1.若a=-1,则b的值可以是一1, 0, 1, 2, (a, b)的个数为4；若a=1,则b的值可以是一1, 0, 1, (a, b)的个数为3；若a = 2，则b的值可以是一1, 0, (a, b)的个数为2.由分类加法计数原理可知，(a, b)的个数为4+4 + 3 + 2 = 13.答案 (1)12 (2)13规律方法 分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键 词、关键元素和关键位置.(1) 根据题目特点恰当选择一个分类标准.(2) 分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于 不同种类的两种方法才是不同的方法，不能重复.(3) 分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏，如本典例(2)中易漏a = 0这一类. 考向二 分步乘法计数原理的应用【典例2】(1)用 0, 1, 2, 3, 4, 5 可组成无重复数字的三位数的个数为.(2) 五名学生报名参加四项体育比赛,每人限报一项,则不同的报名方法的种数 为.五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列),则获得冠军的可能性有种

4、.解析 (1)可分三步给百、十、个位放数字，第一步：百位数字有 5 种放法；第 二步：十位数字有5 种放法；第三步：个位数字有4种放法，根据分步乘法计数 原理，三位数的个数为5X5X4=100.(2) 五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有4 种报名方法，共有 45种不同的报名方法.五名学生争夺四项比赛的冠军，可对 4 个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性. 答案 (1)100 (2)45 54规律方法 1.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即 分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的， 只有各个步骤都完成了，才算完成这件事.2. 分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续， 逐步完成.考向三 两个计数原理的综合应用【典例3】 (1)用数字 1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多 有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有个(用数字作答).(2)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面 对”.在一个正方

5、体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正 交线面对”的个数是()A.48B.18C.24D.36解析当不含偶数时，有A4=120(个)，当含有一个偶数时，有C4C?A4=960(个)，所以这样的四位数共有 1 080个.(2)在正方体中，每一个表面有四条棱与之垂直，六个表面，共构成24个“正交 线面对”；而正方体的六个对角面中，每个对角面有两条面对角线与之垂直，共 构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”.答案 (1)1 080 (2)D规律方法 1.在综合应用两个原理解决问题时应注意：(1)一般是先分类再分步 .在分步时可能又用到分类加法计数原理 .(2)对于较复杂 的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、 直观化.2. 解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不同的区域分步完成.方法技巧1. 应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分步.在处理具体的应用问题时，首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什 么.选择合理的标准处理事情，可以避免计数的重复或遗漏.2. (1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数

6、，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.(2)分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之 间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把 完成每一步的方法数相乘，得到总数.3. 混合问题一般是先分类再分步.4. 要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律.考向二排列组合考向一排列问题【典例1】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.(1) 选5人排成一排；(2) 排成前后两排，前排3人，后排4人；(3) 全体排成一排，女生必须站在一起；(4) 全体排成一排，男生互不相邻；(5) ( 一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.解 从7人中选5人排列，有A7 = 7X6X5X4X3 = 2 520(种).(2)分两步完成，先选3人站前排，有A3种方法，余下4人站后排，有A/种方法, 共有 A3A4=5 040(种).(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A?种方法，再将女 生全排列，有A4种方法，共有AfA4=57

7、6（种）.（4）（插空法）先排女生，有A?种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个 空位安排男生，有A5种方法，共有A4A5 = 1 440（种）.法一（特殊元素优先法）先排甲，有5种方法，其余6人有Ag种排列方法， 共有 5XAg = 3 600（种）.法二（特殊位置优先法）左右两边位置可安排另6人中的两人，有Ag种排法，其 他有A5种排法，共有A2A5 = 3 600（种）.（6）法一（特殊兀素优先法）甲在最右边时，其他的可全排，有Ag种方法；甲不 在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有A5种，而乙可排在除去最右边 的位置后剩下的5个中任选一个有鸟种，其余人全排列，只有A5种不同排法， 共有 A6+AgA5A5 = 3 720.法二（间接法）7名学生全排列，只有A7种方法，其中甲在最左边时，有Ag种方 法，乙在最右边时，有Ag种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情 形，有A5种方法，故共有A7-2A6+A5 = 3 720（种）.规律方法 排列应用问题的分类与解法 （1）对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实 际进行排列时一般采用特殊元素

8、优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制 条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.（2）对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解 决有限制条件的排列问题的常用方法.考向二 组合问题【典例2】 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从 35种商品中选取3种.（1）其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？（2）其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？（3）恰有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？（4）至少有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？（5）至多有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？解（1）从余下的34种商品中，选取2种有C24 = 561（种），某一种假货必须在 内的不同取法有561 种.从34种可选商品中，选取3种，有C34种或者C35C2厂C?4=5 984(种).某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有C20C25 = 2 100(种).恰有 2种假货在内的不同的取法有 2 100种.选取2种假货有C20Ci5种，选取3种假货有C15种，共有选取方式C20

9、C25+C35=2 100+455=2 555(种).至少有 2种假货在内的不同的取法有 2 555 种.(5) 选取3种的总数为C35,选取3种假货有C35种，因此共有选取方式C335C135=6 545455=6 090(种).至多有 2种假货在内的不同的取法有 6 090种.规律方法 组合问题常有以下两类题型变化： (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出， 再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取. (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视 “至 少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可 以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.考向三 分组、分配问题【典例 3】 (1)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培 养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教，现有 6个免费培养的教育专 业师范毕业生要平均分到3 所学校去任教，有种不同的分派方法.(2) 某学校派出 5 名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有()A.80 种B.90 种C.120 种D.150 种(3) A， B， C， D， E， F 六人围坐在一张圆桌上开会， A 是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子， B， C 二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三 把椅子，则不同的坐法有(

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