11热力学统计物理第四版汪志诚答案要点
34页1、(3)第一章热力学的基本规律1.1试求理想气体的体胀系数:,压强系数和等温压缩系数:。 解:已知理想气体的物态方程为pV 二nRT,( 1)由此易得(2)(3)1仙 V五丿TnRT2p丿(4)#(3)#(3)1.2证明任何一种具有两个独立参量T,p的物质,其物态方程可由实验测 得的体胀系数 及等温压缩系数,根据下述积分求得:lnV = aT - Kdp,试求物态方程。p解:以T, p为自变量,物质的物态方程为V 二V T, p ,其全微分为d-fpdT:Vpdp.T(1)根据体胀系数:和等温压缩系数t的定义,可将上式改写为(2)上式是以T, p为自变量的完整微分,沿一任意的积分路线积分,有InV 二:dT - “dp .若=1, t =,式(3)可表为TP(4)InV = f 丄 dT丄 dp J P选择图示的积分路线,从(T, Po)积分到(T, Po ),再积分到(T, p),相应地体l()O;积由Vo最终变到V ,有VTpPopVPoVo(常量),(5)式(5)就是由所给V,求得的物态方程。P确定常量C需要进一步的In =ln InVoTo#(3)#(3)实验数据。#1.4在0C
2、和1 Pn下,测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为:=4.85 10K 和 - t =7.8 10Pn. :和T可近似看作常量,今使铜块加热至10C。 问:(a)压强要增加多少Pn才能使铜块的体积维持不变?(b)若压强增加100Pn,铜块的体积改变多少?辉;(a)根据1.2题式(2),有(1)dVdT _rdp.V上式给出,在邻近的两个平衡态, 间的关系。如果系统的体积不变,系统的体积差dV,温度差dT和压强差dp之 dp与dT的关系为(2)(3)adp dT.kt在:和-T可以看作常量的情形下,将式(2)积分可得aP2p1 二一T2T1.KT将式(2)积分得到式(3)首先意味着,经准静态等容过程后,系统在初态 和终态的压强差和温度差满足式(3)。但是应当强调,只要初态 V, T1和终 态(V, T2 )是平衡态,两态间的压强差和温度差就满足式(3)。这是因为,平 衡状态的状态参量给定后,状态函数就具有确定值,与系统到达该状态的历 史无关。本题讨论的铜块加热的实际过程一般不会是准静态过程。在加热过程中,铜块各处的温度可以不等,铜块与热源可以存在温差等等,但是只 要铜块的初态和终态是
3、平衡态,两态的压强和温度差就满足式(3)。将所给数据代入,可得4.85 10*P2-P1.亍 10 =622pn.7.8 10因此,将铜块由0C加热到10C,要使铜块体积保持不变,压强要增强 622pn(b) 1.2题式(4)可改写为VT2 - T1- T P2 - P1.( 4)V1将所给数据代入,有.: V574.85 10- 10 7.8 10- 100 y= 4.07 10因此,将铜块由0七加热至10C,压强由1pn增加100pn,铜块体积将增加原体 积的4.07 10*倍。1.7抽成真空的小匣带有活门,打开活门让气体冲入,当压强达到外界 压强P。时将活门关上,试证明:小匣内的空气在没有与外界交换热量之前, 它的内能U与原来在大气中的内能U。之差为U 一U。二pV,其中V。是它原来在 大气中的体积,若气体是理想气体,求它的温度与体积。解:将冲入小匣的气体看作系统。系统冲入小匣后的内能U与其原来在大气中的内能U。由式(1.5.3)U -U0 二W Q( 1)确定。由于过程进行得很迅速,过程中系统与外界没有热量交换,Q = 0.过程 中外界对系统所做的功可以分为和W2两部分来考虑。
4、一方面,大气将系统压入小匣,使其在大气中的体积由 V)变为零。由于小匣很小,在将气体压入 小匣的过程中大气压强P0可以认为没有变化,即过程是等压的(但不是准静 态的)。过程中大气对系统所做的功为Wj = - P 二 V = pV0.另一方面,小匣既抽为真空,系统在冲入小匣的过程中不受外界阻力,与外 界也就没有功交换,则W2 =0.因此式(1)可表为U -U P0V0.(2)如果气体是理想气体,根据式(1.3.11 )和(1.7.10),有PV。二 nRT,( 3)nR/八U0-Ur(T0)( 4)式中n是系统所含物质的量。代入式(2)即有T = T。.( 5)活门是在系统的压强达到P0时关上的,所以气体在小匣内的压强也可看作 P0,#其物态方程为(6)与式(3)比较,知p0V 二 nR T0.1.8满足pVn=C的过程称为多方过程,其中常数n名为多方指数。试证明:理想气体在多方过程中的热容量 Cn为解:根据式(1.6.1),多方过程中的热容量Cn Jim H 二卫 pT 0汀n .汀n汀n(1)对于理想气体,内能U只是温度T的函数,所以CnP+ppq.VcT yn(2)将多方过程的过程
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