11热力学统计物理第四版汪志诚答案要点

(3)第一章热力学的基本规律1.1试求理想气体的体胀系数:,压强系数和等温压缩系数：。 解：已知理想气体的物态方程为pV 二nRT,（ 1）由此易得(2)(3)1仙' V五丿TnRT2p丿(4)#(3)#(3)1.2证明任何一种具有两个独立参量T,p的物质，其物态方程可由实验测 得的体胀系数 '及等温压缩系数，根据下述积分求得：lnV = aT - Kdp，试求物态方程。p解：以T, p为自变量，物质的物态方程为V 二V T, p ,其全微分为d-fpdT:Vpdp.T(1)根据体胀系数:和等温压缩系数t的定义，可将上式改写为(2)上式是以T, p为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有InV 二：dT - “dp .若=1, ' t =，式（3）可表为TP(4)InV = f 丄 dT丄 dp J P选择图示的积分路线，从（T°, Po）积分到（T, Po ），再积分到（T, p），相应地体l（）O；积由Vo最终变到V ,有VTpPopVPoVo（常量），(5)式（5）就是由所给V，求得的物态方程。P确定常量C需要进一步的In =ln InVoTo#(3)#(3)实验数据。#1.4在0C和1 Pn下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为:=4.85 10K " 和 - t =7.8 10Pn. :和T可近似看作常量，今使铜块加热至10C。 问：（a）压强要增加多少Pn才能使铜块的体积维持不变？（b）若压强增加100Pn，铜块的体积改变多少？辉；（a）根据1.2题式（2），有(1)dVdT _'rdp.V上式给出，在邻近的两个平衡态, 间的关系。如果系统的体积不变,系统的体积差dV，温度差dT和压强差dp之 dp与dT的关系为(2)(3)adp dT.kt在:和-T可以看作常量的情形下，将式（2）积分可得aP2p1 二一T2T1.KT将式（2）积分得到式（3）首先意味着，经准静态等容过程后，系统在初态 和终态的压强差和温度差满足式（3）。但是应当强调，只要初态 V, T1和终 态（V, T2 ）是平衡态，两态间的压强差和温度差就满足式（3）。这是因为，平 衡状态的状态参量给定后，状态函数就具有确定值，与系统到达该状态的历 史无关。本题讨论的铜块加热的实际过程一般不会是准静态过程。在加热过程中，铜块各处的温度可以不等，铜块与热源可以存在温差等等，但是只 要铜块的初态和终态是平衡态，两态的压强和温度差就满足式（3）。将所给数据代入，可得4.85 10*P2-P1.亍 10 =622pn.7.8 10因此，将铜块由0C加热到10C，要使铜块体积保持不变，压强要增强 622pn（b） 1.2题式（4）可改写为VT2 - T1- ' T P2 - P1.（ 4）V1将所给数据代入，有.: V574.85 10- 10 7.8 10- 100 y= 4.07 10因此，将铜块由0七加热至10C，压强由1pn增加100pn，铜块体积将增加原体 积的4.07 10*倍。1.7抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入，当压强达到外界 压强P。时将活门关上，试证明：小匣内的空气在没有与外界交换热量之前， 它的内能U与原来在大气中的内能U。之差为U 一U。二p°V°，其中V。是它原来在 大气中的体积，若气体是理想气体，求它的温度与体积。解：将冲入小匣的气体看作系统。系统冲入小匣后的内能U与其原来在大气中的内能U。由式（1.5.3）U -U0 二W Q（ 1）确定。由于过程进行得很迅速，过程中系统与外界没有热量交换，Q = 0.过程 中外界对系统所做的功可以分为和W2两部分来考虑。一方面，大气将系统压入小匣，使其在大气中的体积由 V）变为零。由于小匣很小，在将气体压入 小匣的过程中大气压强P0可以认为没有变化，即过程是等压的（但不是准静 态的）。过程中大气对系统所做的功为Wj = - P° 二 V = p°V0.另一方面，小匣既抽为真空，系统在冲入小匣的过程中不受外界阻力，与外 界也就没有功交换，则W2 =0.因此式（1）可表为U -U P0V0.（2）如果气体是理想气体，根据式（1.3.11 ）和（1.7.10）,有P°V。二 nRT,（ 3）nR/八U0-U"r(T0)( 4)式中n是系统所含物质的量。代入式（2）即有T = T。.（ 5）活门是在系统的压强达到P0时关上的，所以气体在小匣内的压强也可看作 P0，#其物态方程为(6)与式（3）比较，知p0V 二 nR T0.1.8满足pVn=C的过程称为多方过程，其中常数n名为多方指数。试证明：理想气体在多方过程中的热容量 Cn为解：根据式（1.6.1），多方过程中的热容量Cn Jim H 二卫 pT 0汀n .汀n汀n(1)对于理想气体，内能U只是温度T的函数,所以CnP+ppq.VcT yn(2)将多方过程的过程方程式 得pVn=C与理想气体的物态方程联立，消去压强TVnJt 二 G (常量)将上式微分，有所以Vn4dT (n -1Nn'TdV =0,岂 _ V 斤 /(n-1)T代入式（2），即得Cn =Cv _PVT( n-1)p可(3)(4)(5)#其中用了式（1.7.8 ）和（1.7.9 ）#(1)(2)(3)lnF(T)二1 dT(4)可得或lnF(T) InV =G (常量)，F仃）V二C （常量）。(5)(6)1.12假设理想气体的Cp和Cv之比 是温度的函数，试求在准静态绝热过程 中T和V的关系，该关系式中要用到一个函数 F T，其表达式为lnF(T)=解：根据式（1.8.1），理想气体在准静态绝热过程中满足CVdT pdV =0.用物态方程pV =nRT除上式，第一项用nRT除，第二项用pV除，可得CV dT dV 门 0.nRT V 禾I用式（1.7.8）和（1.7.9）,C p - Cv 二 nR,Cv，可将式（2）改定为1 dT dVrV将上式积分，如果 是温度的函数，定义式（6）给出当 是温度的函数时，理想气体在准静态绝热过程中 T和V的关 系。1.13利用上题的结果证明：当为温度的函数时，理想气体卡诺循环的效率 仍为=1_巴.解：在 是温度的函数的情形下，§1.9就理想气体卡诺循环得到的式（1.9.4）（1.9.6 ）仍然成立，即仍有V2Q RT1ln，11 V1（1）V3Q2 二 RT2ln -,V4（2）V2V3W 二Q -Q2 二 RT；ln 2 - RT2ln -.VV4（3）根据1.13题式（6）,对于§ 1.9中的准静态绝热过程（二）和（四），有F(T1皆 F(T2M,（4）F(T2)VF(T1)V1，（5）从这两个方程消去F（rj和f）,得V2 =血J（6）V1V4故W =R(T1 -T2)ln 企（7）所以在 是温度的函数的情形下，理想气体卡诺循环的效率仍为(8)二W 十 12Q1T1#1.14试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交解：假设在p -。设想一等温线与#两条绝热线分别交于A点和B点（因为等温线的斜率小于绝热线的斜率， 这样 的等温线总是存在的），则在循环过程ABCA中，系统在等温过程AB中从外界 吸取热量Q ,而在循环过程中对外做功W，其数值等于三条线所围面积（正值）。 循环过程完成后，系统回到原来的状态。根据热力学第一定律，有W =Q。这样一来，系统在上述循环过程中就从单一热源吸热并将之完全转变为功了， 这违背了热力学第二定律的开尔文说法，是不可能的。因此两条绝热线不可能相交。1.15 热机在循环中与多个热源交换热量，在热机从其中吸收热量的热源中，热源的最高温度为T1，在热机向其放出热量的热源中，热源的最低温度为T2，试根据克氏不等式证明，热机的效率不超过 1-T2.T解：根据克劳修斯不等式（式（1.13.4）,有、2o,（ 1）i Ti式中Qi是热机从温度为T的热源吸取的热量（吸热Q为正，放热Qi为负）。将 热量重新定义，可将式（1）改写为、2 乞0,（2）j Tj k Tk式中Qj是热机从热源Tj吸取的热量，Qk是热机在热源Tk放出的热量，Qj，Qk恒#正。将式（2）改写为Qj'I Tj 1 j(3)假设热机从其中吸取热量的热源中,热源的最高温度为Ti ,在热机向其放出热#量的热源中，热源的最低温度为T2，必有故由式（3）得Qj八Q j j TjQj 丄 Qk.T1 jT2 k(4)定义Qi八* Qj为热机在过程中吸取的总热量, 则式（4）可表为Q1 迁 Q2 fT?Q Qk为热机放出的总热量,k（5）T2.： Q2TiQ(6)根据热力学第一定律，热机在循环过程中所做的功为W 二 Qi - Q2.热机的效率为W十QQQi-1#1.21物体的初温Ti，高于热源的温度T2，有一热机在此物体与热源之间工作，直到将物体的温度降低到 T2为止，若热机从物体吸取的热量为Q,试根据熵增加原理证明，此热机所能输出的最大功为Wmax =Q-T2（S -初其中s -S2是物体的熵减少量。解：以."Sa，.-：Sb和弋分别表示物体、热机和热源在过程前后的熵变。由 熵的相加性知，整个系统的熵变为=S = : Sa * 二 Sb ； tSc. 由于整个系统与外界是绝热的，熵增加原理要求=S = ：Sa =Sb 二SC _ 0.（ 1）以s, S2分别表示物体在开始和终结状态的熵，则物体的熵变为代仝2-S.（ 2）热机经历的是循环过程，经循环过程后热机回到初始状态，熵变为零，即5=0.（ 3）以Q表示热机从物体吸取的热量， Q 表示热机在热源放出的热量， W表示热 机对外所做的功。 根据热力学第一定律，有Q =Q W,所以热源的熵变为(4)将式（2） （ 4）代入式（1），即有(5)(6)QWS2-S0.T2上式取等号时，热机输出的功最大，故Wmax 二 Q-T2 0 七.式（6）相应于所经历的过程是可逆过程#1.23 简单系统有两个独立参量。如果以T, S为独立参量，可以以纵坐标表示温度T ,横坐标表示熵S，构成TS图。图中的一点与系统的一个平衡 态相对应，一条曲线与一个可逆过程相对应。试在图中画出可逆卡诺循环过 程的曲线，并利用T -