勾股定理五种证明办法
2页1、勾股定理五种证明方法【证法 1】aba、b,斜边长为 c,再做三个边长分做 8 个全等的直角三角形, 设它们的两条直角边长分别为ba别为 a、 b、c 的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形 .aacaaa+b,所以面积相等 . 即从图上可以看到,这两个正方形的边长都是ccba22121ab4abc4abb2c 2 .b22,整理得 a 2【证法 2】(邹元治证明)bcbbbcca1ab以 a、b 为直角边,以 c 为斜边做四个全等的直角三角形, 则每个直角三角形的面积等于2 .把这四个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B 三点在一条直线上, B、F、C 三点在一条直线abab上, C、G、D三点在一条直线上 . Rt HAE Rt EBF,DbGaC AHE= BEF. AEH+ AHE=90o ,bacc AEH+ BEF=90o . HEF=180o 90o =90o .四边形 EFGH是一个边长为 c 的F正方形 . 它的面积等于 c2.bcca Rt GDH Rt HAE, HGD=EHA.bBAaE HGD+ GHD=90o , EHA+ GHD=90o .又 GHE
2、=90o , DHA=90o +90o =180o . ABCD是一个边长为a+b 的正方形,它的面积等于a b 2.a b 241 abc 2b 2c2 .2. a2【证法 3】(梅文鼎证明)做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、 b,斜边长为 c. 把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、 E、 F 在一条直线上 . 过 C 作 AC的延长线交 DF于点 P.D、 E、 F 在一条直线上 , 且 Rt GEF RtEBD, EGF= BED, EGF+ GEF=90,F BED+GEF=90, BEG=180o 90o =90o .ba又 AB=BE=EG=GA=c,EcABEG是一个边长为 c的正方形 .G ABC+ CBE=90o .PRtABC RtEBD,bb ABC=EBD.cCc EBD+ CBE=90o .DaHaa精心整理bAcB即 CBD=90o .又 BDE=90o, BCP=90o ,BC=BD=a.BDPC是一个边长为 a 的正方形 .同理, HPFG是一个边长为 b 的正方形 .设多边形 GHCBE的面积为 S,则a 2b 2S 21 ab,
3、 c2S21 ab22 , a2b 2c2 .【证法 4】( 1876 年美国总统 Garfield证明)1ab以 a、b 为直角边,以 c 为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于2.把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使A、 E、B 三点在一条直线上 .Rt EAD RtCBE,CD ADE=BEC. AED+ ADE=90o ,cbc AED+ BEC=90o .a DEC=180o 90o =90o . DEC是一个等腰直角三角形,AbEaB1 c2它的面积等于2.又 DAE=90o , EBC=90o , AD BC.ABCD是一个直角梯形,它的面积等于1ab 22.1a b 221ab1c2. 222 a2b 2c2.【证法 5】(辛卜松证明)设直角三角形两直角边的长分别为a、b,斜边的长为c. 作边长是 a+b 的正方形 ABCD.把正方形 ABCD划分成上方左图所示的几个部分,则正方形 ABCD的面积为 abab形 ABCD划分成上方右图所示的几个部分, 则正方形 ABCD的面积为2a 2b22ab ;把正方241 abc 22= 2ab c 2 . a2b 22ab2ab c 2 , a2b 2c2.初二( 1)精心整理
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