(江苏专用)高考数学 考前三个月 必考题型过关练 第13练 以函数为背景的创新题型 理
8页1、第13练以函数为背景的创新题型题型一新定义函数名称的问题例1定义在(,0)(0,)上的函数f(x),如果对于任意给定的等比数列an,f(an)仍是等比数列,则称f(x)为“保等比数列函数”现有定义在(,0)(0,)上的如下函数:f(x)x2;f(x)2x;f(x);f(x)ln |x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为_破题切入点准确把握严格按照“保等比数列函数”的概念逐个验证答案解析等比数列性质,anan2a,f(an)f(an2)aa(a)2f2(an1);f(an)f(an2)22 2f2(an1);f(an)f(an2)2f2(an1);f(an)f(an2)ln |an|ln |an2|(ln |an1|)2f2(an1)题型二新定义函数的性质或部分性质问题例2设函数f(x)的定义域为D,如果对于任意的x1D,存在唯一的x2D,使得C成立(其中C为常数),则称函数yf(x)在D上的均值为C.现在给出下列4个函数:yx3;y4sin x;ylg x;y2x.则在其定义域上的均值为2的所有函数是_破题切入点如何求均值?按定义,能否使均值为2?答案解析经验证,是符合题意
2、的;对于,x2不唯一;对于,若满足题中的定义,则f(x1)f(x2)4,f(x2)4f(x1),由x1的任意性,知f(x2)需满足能取到负值,而这是不可能的总结提高有关以函数为背景的创新题型,一般是先叙述或新规定一些条件,若满足这些条件则该函数为该类函数或具有该性质,解决办法是根据我们所学过的其他函数的有关意义和性质来逐个验证加以解决,注意严格准确把握新定义1设D(x,y)|(xy)(xy)0,记“平面区域D夹在直线y1与yt(t1,1)之间的部分的面积”为S,则函数Sf(t)的图象的大致形状为_答案解析如图,平面区域D为阴影部分,当t1时,S0,排除;当t时,SSmax,排除.2设函数f(x)与g(x)是定义在同一区间a,b上的两个函数,若对任意的xa,b,都有|f(x)g(x)|k(k0),则称f(x)与g(x)在a,b上是“k度和谐函数”,a,b称为“k度密切区间”设函数f(x)ln x与g(x)在,e上是“e度和谐函数”,则m的取值范围是_答案1,e1解析设h(x)f(x)g(x)ln xmln x,h(x),故当x,1)时,h(x)1,所以h()h(e),故函数h(x)的最大
3、值为h()me1.故函数h(x)在,e上的值域为m1,me1由题意,得|h(x)|e,即eh(x)e,所以解得1m1e.3(2014苏州模拟)对于函数f(x),若任意的a,b,cR,f(a),f(b),f(c)为某一三角形的三边长,则称f(x)为“可构造三角形函数”已知函数f(x)是“可构造三角形函数”,则实数t的取值范围是_答案,2解析因为对任意的实数x1,x2,x3R,都存在以f(x1),f(x2),f(x3)为三边长的三角形,故f(x1)f(x2)f(x3)对任意的x1,x2,x3R恒成立由f(x)1,设ex1m(m1),则原函数可化为f(m)1(m1),当t1时,函数f(m)在(1,)上单调递减,所以f(m)(1,t),此时2f(x1)f(x2)2t,1f(x3)f(x3)对任意的x1,x2,x3R恒成立,需t2,所以1t2;当t1时,f(x)1,显然满足题意;当t1时,函数f(m)在(1,)上单调递增,所以y(t,1),此时2tf(x1)f(x2)2,tf(x3)f(x3)对任意的x1,x2,x3R恒成立,需满足2t1,所以t0,即函数f(x)在(0,)上单调递增由f(2)l
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