（江苏专用）高考数学 考前三个月 必考题型过关练 第13练 以函数为背景的创新题型 理

第13练以函数为背景的创新题型题型一新定义函数名称的问题例1定义在(，0)(0，)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列an，f(an)仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”现有定义在(，0)(0，)上的如下函数：f(x)x2；f(x)2x；f(x)；f(x)ln |x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为_破题切入点准确把握严格按照“保等比数列函数”的概念逐个验证答案解析等比数列性质，anan2a，f(an)f(an2)aa(a)2f2(an1)；f(an)f(an2)22 2f2(an1)；f(an)f(an2)2f2(an1)；f(an)f(an2)ln |an|ln |an2|(ln |an1|)2f2(an1)题型二新定义函数的性质或部分性质问题例2设函数f(x)的定义域为D，如果对于任意的x1D，存在唯一的x2D，使得C成立(其中C为常数)，则称函数yf(x)在D上的均值为C.现在给出下列4个函数：yx3；y4sin x；ylg x；y2x.则在其定义域上的均值为2的所有函数是_破题切入点如何求均值？按定义，能否使均值为2?答案解析经验证，是符合题意的；对于，x2不唯一；对于，若满足题中的定义，则f(x1)f(x2)4，f(x2)4f(x1)，由x1的任意性，知f(x2)需满足能取到负值，而这是不可能的总结提高有关以函数为背景的创新题型，一般是先叙述或新规定一些条件，若满足这些条件则该函数为该类函数或具有该性质，解决办法是根据我们所学过的其他函数的有关意义和性质来逐个验证加以解决，注意严格准确把握新定义1设D(x，y)|(xy)(xy)0，记“平面区域D夹在直线y1与yt(t1,1)之间的部分的面积”为S，则函数Sf(t)的图象的大致形状为_答案解析如图，平面区域D为阴影部分，当t1时，S0，排除；当t时，S>Smax，排除.2设函数f(x)与g(x)是定义在同一区间a，b上的两个函数，若对任意的xa，b，都有|f(x)g(x)|k(k>0)，则称f(x)与g(x)在a，b上是“k度和谐函数”，a，b称为“k度密切区间”设函数f(x)ln x与g(x)在，e上是“e度和谐函数”，则m的取值范围是_答案1，e1解析设h(x)f(x)g(x)ln xmln x，h(x)，故当x，1)时，h(x)<0，函数h(x)单调递减；当x1，e时，h(x)0，函数h(x)单调递增所以函数h(x)的最小值为h(1)m1，而h()me1，h(e)m1，显然e1>1，所以h()>h(e)，故函数h(x)的最大值为h()me1.故函数h(x)在，e上的值域为m1，me1由题意，得|h(x)|e，即eh(x)e，所以解得1m1e.3(2014·苏州模拟)对于函数f(x)，若任意的a，b，cR，f(a)，f(b)，f(c)为某一三角形的三边长，则称f(x)为“可构造三角形函数”已知函数f(x)是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是_答案，2解析因为对任意的实数x1，x2，x3R，都存在以f(x1)，f(x2)，f(x3)为三边长的三角形，故f(x1)f(x2)>f(x3)对任意的x1，x2，x3R恒成立由f(x)1，设ex1m(m>1)，则原函数可化为f(m)1(m>1)，当t>1时，函数f(m)在(1，)上单调递减，所以f(m)(1，t)，此时2<f(x1)f(x2)<2t,1<f(x3)<t，要使f(x1)f(x2)>f(x3)对任意的x1，x2，x3R恒成立，需t2，所以1<t2；当t1时，f(x)1，显然满足题意；当t<1时，函数f(m)在(1，)上单调递增，所以y(t,1)，此时2t<f(x1)f(x2)<2，t<f(x3)<1，要使f(x1)f(x2)>f(x3)对任意的x1，x2，x3R恒成立，需满足2t1，所以t<1.综上t，24若直角坐标平面内的两点P，Q满足条件：P，Q都在函数yf(x)的图象上；P，Q关于原点对称则称点对P，Q是函数yf(x)的一对“友好点对”(点对P，Q与Q，P看作同一对“友好点对”)已知函数f(x)则此函数的“友好点对”有_对答案2解析函数f(x)的图象及函数f(x)x24x(x0)的图象关于原点对称的图象如图所示，则A，B两点关于原点的对称点一定在函数f(x)x24x(x0)的图象上，故函数f(x)的“友好点对”有2对5已知x表示不超过实数x的最大整数，如1.81，1.22.x0是函数f(x)lg x的零点，则x0_.答案2解析函数f(x)的定义域为(0，)，函数f(x)>0，即函数f(x)在(0，)上单调递增由f(2)ln 21<0，f(e)ln e>0，知x0(2，e)，x02.6(2014·辽宁改编)已知定义在0,1上的函数f(x)满足：f(0)f(1)0；对所有x，y0,1，且xy，有|f(x)f(y)|<|xy|.若对所有x，y0,1，|f(x)f(y)|<k恒成立，则k的最小值为_答案解析取y0，则|f(x)f(0)|<|x0|，即|f(x)|<x，取y1，则|f(x)f(1)|<|x1|，即|f(x)|<(1x)|f(x)|f(x)|<xx，|f(x)|<.不妨取f(x)0，则0f(x)<，0f(y)<，|f(x)f(y)|<0，要使|f(x)f(y)|<k恒成立，只需k.k的最小值为.7设集合M(x，y)|yf(x)，若对于任意(x1，y1)M，存在(x2，y2)M，使得x1x2y1y20成立，则称集合M为“垂直双点集”给出下列四个集合：M(x，y)|y；M(x，y)|ysin x1；M(x，y)|ylog2x；M(x，y)|yex2其中是“垂直双点集”的序号是_答案解析对于，y是以x轴，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为90°，在同一支上，任意(x1，y1)M，不存在(x2，y2)M，满足“垂直双点集”的定义；对任意(x1，y1)M，在另一支上也不存在(x2，y2)M，使得x1x2y1y20成立，所以不满足“垂直双点集”的定义，不是“垂直双点集”对于，M(x，y)|ysin x1，如图1所示，在曲线ysin x1上，对任意的点B(x1，y1)M，总存在点C(x2，y2)M，使得OBOC，即x1x2y1y20成立，故M(x，y)|ysin x1是“垂直双点集”对于，M(x，y)|ylog2x，如图2所示，在曲线ylog2x上，取点(1,0)，则曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直双点集”对于，M(x，y)|yex2，如图3所示，在曲线yex2上，对任意(x1，y1)M，总存在(x2，y2)M，使得x1x2y1y20成立，例如取(0，1)，(ln 2,0)，满足“垂直双点集”的定义8如图展示了由区间(0,4)到实数集R的一个映射过程：区间(0,4)中的实数m对应数轴上的点M(如图1)，将线段AB围成一个正方形，使两端点A，B恰好重合(如图2)，再将这个正方形放在平面直角坐标系中，使其中两个顶点在y轴上(如图3)，点A的坐标为(0,4)，若图3中直线AM与x轴交于点N(n,0)，则m的象就是n，记作f(m)n.现给出以下命题：f(2)0；f(x)的图象关于点(2,0)对称；f(x)在区间(3,4)上为常数函数；f(x)为偶函数其中真命题为_(写出所有真命题的序号)答案解析如图所示由定义可知2的象为0.即f(2)0；由图象可知关于点(2,0)对称的两点的象互为相反数，即其图象关于点(2,0)对称；结合图形可知m(3,4)时其象为定值，即函数在此区间上为常数函数；因为函数的定义域为0,4，不关于原点对称，故函数不是偶函数综上可知命题是正确的9对于函数f(x)，若存在区间Ma，b(其中a<b)，使得y|yf(x)，xMM，则称区间M为函数f(x)的一个“稳定区间”给出下列4个函数：f(x)(x1)2；f(x)|2x1|；f(x)cos x；f(x)ex.其中存在“稳定区间”的函数有_(填出所有满足条件的函数序号)答案解析据已知定义所谓的“稳定区间”即函数在区间a，b内的定义域与值域相等问题可转化为已知函数yf(x)的图象与直线yx是否相交，若相交则两交点所在区间即为函数的“稳定区间”，数形结合依次判断均符合条件，而对于易知由于f(x)ex，故f(x)ex在原点处的切线方程即为yx，故不符合条件综上可知均为存在“稳定区间”的函数10(2014·山东)已知函数yf(x)(xR)对函数yg(x)(xI)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数yh(x)(xI)，yh(x)满足：对任意xI，两个点(x，h(x)，(x，g(x)关于点(x，f(x)对称若h(x)是g(x)关于f(x)3xb的“对称函数”，且h(x)>g(x)恒成立，则实数b的取值范围是_答案(2，)解析由已知得3xb，所以h(x)6x2b.h(x)>g(x)恒成立，即6x2b>，3xb>恒成立在同一坐标系内，画出直线y3xb及半圆y(如图所示)，可得>2，即b>2，故答案为(2，)11若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：f1(x)2log2 x，f2(x)log2 (x2)，f3(x)(log2 x)2，f4(x)log2(2x)则“同形”函数是_答案f2(x)与f4(x)解析f4(x)log2(2x)1log2x，将其向下平移1个单位得到f(x)log2x，再向左平移2个单位，即得到f2(x)log2(x2)的图象故根据新定义得，f2(x)log2 (x2)与f4(x)log2 (2x)为“同形”函数12已知集合A1,2,3，2n(nN*)对于A的一个子集S，若S满足性质P：“存在不大于n的正整数m，使得对于S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1s2|m”，则称S为理想集对于下列命题：当n10时，集合B