建筑制图与识图04立体的投影

第第 三三 章章 立立 体体 的的 投投 影影第第 一一 节节平平 面面 立立 体体 的的 投投 影影 如图3-1所示，这些建筑物及其配件的形状虽然复杂多样，但一般都是由一些简单的几何体经过叠加、切割或相交等形式组成的。我们把这些简单的几何体称为基本几何体或基本体，把建筑物及其构配件的形体称为建筑形体。导 言图3-1 建筑形体的组成 由此可见，要想很好地了解建筑形体的投影，必须先掌握基本形体的投影。那么，这些基本形体的三面投影图该如何绘制呢？如果这些基本形体被不同位置的平面所截切，截切后形体的三面投影图又该如何画呢？前 言一、棱柱一、棱柱 棱柱是由两个底面和若干棱面围成的平面立体。若棱柱的棱线与底面倾斜，则该棱柱称为斜棱柱；若棱柱的棱线与底面垂直，则该棱柱称为直棱柱；若一个直棱柱的上、下底面均为正多边形，则该直棱柱称为正棱柱。棱柱是由两个底面和若干棱面围成的平面立体，立体上相邻表面的交线称为棱线。不 同 棱 柱 的 三 面 投 影 图，其 画 法 大 致 相 同。下 面 以 图 3-2所示的正六棱柱为例，来讲解棱柱三面投影图的投影特性及画法。一、棱柱一、棱柱（一）形体特征 正六棱柱是由上、下两底面和6个矩形侧面组成的。其中，上、下两底面相互平行；6个侧面均为全等的矩形，且与底面垂直；6条棱线相互平行，长度相等且与上、下两底面垂直。（二）摆放位置 摆放形体时应考虑两个因素：一要使形体处于稳定状态，二要考虑形体的工作状况。为了作图方便，应尽量使形体的表面平行或垂直于投影图。对图3-2所示的正六棱柱，应将上下底面平行于H面、前后侧面平行于V面放置。图3-2 正六棱柱的投影一、棱柱一、棱柱（三）投影分析H面投影V面投影W面影投影为正六边形，它是上、下底面的投影，且反映两底面实形；六边形的6个顶点是6条棱边（铅垂线）的积聚投影。为3个矩形线框。其中，中间的矩形线框为前、后侧面的重合投影，且反映前、后侧面的实形；左侧矩形为左侧前、后侧面的重合投影，右侧矩形为右侧前、后侧面的重合投影，它们均为类似形；上、下两底面的投影积聚为直线段。为两个矩形线框，分别是左、右4个铅垂侧面的重合投影（不反映实形）。通过上述分析可以总结出棱柱体的投影特性：反映底面实形的投影为多边形；另外两面投影均为矩形，或矩形的组合图形。一、棱柱一、棱柱提 示 由图3-2所示投影图可以看出，基本体中柱体的投影特征可归纳为“矩矩为柱”。这句话的含义是：只要是柱体（包括圆柱和棱柱），则必有两面投影的外线框为矩形；反之，若某一形体的两面投影的外线框为矩形，则该形体一定是柱体，这时，可利用第三面投影来判别具体是何种柱体。一、棱柱一、棱柱（1）画出正六棱柱的对称中心线、底面基线及45辅助线，以确定各投影图的位置，如图3-3（a）所示。（2）先画出反映主要形状特征的投影图，即画H面投影图中的正六边形，然后按照“长对正”的投影规律及正六棱柱的高度画出V面投影。正六边形可采用等分圆周的方法绘制，结果如图3-3（b）所示。（3）根据“高平齐、宽相等”的投影规律画出W面投影，最后擦去多余的图线并加深，结果如图3-3（c）所示。（四）正六棱柱的作图步骤一、棱柱一、棱柱图3-3 正六棱柱投影图的作图步骤abc二、棱二、棱锥 棱锥是由一个多边形底面和若干个具有公共顶点（锥顶）的三角形棱面围成的平面体。若一个棱锥的底面为正多边形，且锥顶在底面的投影位于正多边形的中心，则该棱锥称为正棱锥。图3-4 正三棱锥的投影二、棱二、棱锥 正三棱锥又称四面体，由一个底面和3个棱面组成。其中，底面为正三角形；3个棱面为3个全等的等腰三角形。（一）形体特征（一）形体特征下面以图3-4所示的正三棱柱为例，来讲解棱锥三面投影图的投影特性及画法。二、棱二、棱锥（二）投影分析 将三棱锥的底面平行于H面、某一侧面处于侧垂面位置放置在三投影面体系中，其投影特性如下。H面投影V面投影W面投影为等边三角形，它反映正三棱锥的底面实形，3个侧面的投影表现为类似形，顶点投影重合于等边三角形的垂心。为两个三角形，即左、右两个侧棱面的类似形。为一个三角形。其中，后侧棱面积聚为最后方的一直线段，左、右侧棱面的投影仍为三角形，且相互重合。二、棱二、棱锥通过上述分析可以得出以下结论：反映底面实形的投影为多边形或三角形的组合图形；另外两面投影为并列的三角形（内含反映侧表面的几个三角形）。提示提示：基本体中锥体的投影特征可归纳为“三三为锥”，即若形体有两面投影的外线框均为三角形，则该形体一定是锥体（包括棱锥和圆锥）；反之，凡是锥体，则必有两面投影的外线框为三角形，这时，可利用第三面投影来判别具体是何种锥体。二、棱二、棱锥（a）四棱锥（b）五棱锥（c）六棱锥图3-5 几种常见棱锥的投影三、平面立体表面上点和三、平面立体表面上点和线的投影的投影（三）正三棱锥的作图步骤确定各投影图的位置，然后在H面上画出反映底面实形的正三角形，该三角形可利用丁字尺和三角板绘制，如图3-6（a）所示。（1）在H面投影中作正三角形的垂心，以确定三棱锥顶点S在俯视图中的投影S，然后过该点连接H面投影中三角形的3个顶点，如图3-6（b）所示。（2）根据“长对正”的投影规律和正三棱锥的高，确定锥顶的V面投影，然后画出正三棱锥的V面投影和W面投影并加深图线，如图3-6（b）所示。（3）二、棱二、棱锥（a）（b）图3-6 正三棱锥投影图的作图步骤三、平面立体表面上点和三、平面立体表面上点和线的投影的投影平面立体的表面都是平面多边形，在其表面上取点、线的作图问题，实质上就是平面上取点、线作图的应用。由于平面立体的各表面存在着相对位置的差异，必然会出现投影的相互重叠，从而产生各表面投影的可见与不可见问题。因此，对于表面上点和线的投影，还应考虑其投影的可见性。判断立体表面上点和线可见性的原则是：如果点、线所在表面的投影可见，则点、线的同面投影可见；否则，不可见。三、平面立体表面上点和三、平面立体表面上点和线的投影的投影当点位于立体表面的某条棱边上时，该点的投影必定在棱线的投影上。此时，可利用线上点的“从属性”求出该点的投影。从属性法当点所在的立体表面对某投影面的投影具有积聚性时，该点的投影必在该表面的积聚投影线上。此时，可利用平面的积聚性求出该点的投影。积聚性法（一）利用“从属性法”和“积聚性法”作图三、平面立体表面上点和三、平面立体表面上点和线的投影的投影【例3-1】立体表面上直线MN的正面投影mn如图3-7（a）所示，试作该直线的其他两面投影。分析：分析：分析图3-7（a）所示的形体，可知其为四棱台（梯梯为台）。由于正面投影中的mn可见，因此可判定该直线位于四棱台的前棱面上。由于M点在棱边上，故可利用“从属性法”求出其他两面投影；N点所在的表面为侧垂面，其侧面投影具有积聚性，因此可先利用表面的积聚性求出n点，然后再利用n点和n点求出n点。图3-7 利用“从属性法”和“积聚性法”求立体表面上点的投影三、平面立体表面上点和三、平面立体表面上点和线的投影的投影作图步骤参见图3-7（b）：（1）利用“从属性法”过m点作水平直线和铅垂线，分别交四棱台的另外两面投影于m和m。（2）利用“积聚性法”过n点作水平直线交四棱台的侧面投影于n点，然后利用n点和n点求出水平投影n点。（3）用直线依次连接水平投影和侧面投影中M点和N点的同面投影。由于侧面投影中的m点和n点位于前侧面的积聚投影线上，其投影与该积聚线重合，故可不用直线连接。图3-7 利用“从属性法”和“积聚性法”求立体表面上点的投影三、平面立体表面上点和三、平面立体表面上点和线的投影的投影（二）利用“辅助线法”作图 当点所在的立体表面无积聚投影时，该点的投影必须利用作辅助线的方法求出，即先过已知点在立体表面上作一辅助直线（辅助线可以是一般位置直线或特殊位置直线），求出该直线的另外两面投影，然后依据点的“从属性”求出点的各面投影。三、平面立体表面上点和三、平面立体表面上点和线的投影的投影 【例3-2】立体表面上M点和N点的投影m和n如图3-8（a）所示，求作这两个点的其他两面投影。分析：m点为可见点，故M点位于SAB平面上。由于SAB平面为一般位置平面，故M点的其他两面投影需通过作辅助线求出。n点为可见点，故N点位于SBC平面上。由于SBC平面也为一般位置平面，故N点的其他两面投影也需要通过作辅助线求出。图3-8 利用“辅助线法”求立体表面上点的投影三、平面立体表面上点和三、平面立体表面上点和线的投影的投影（1）（2）（3）（4）过m点作一条平行于底面的辅助线，该辅助线的投影交sa于点1。由于点1位于直线sa上，故可直接求出水平投影点1。过1点作直线ab的平行线，则M点的水平投影一定在该平行线上。因此，过m点作垂线交平行辅助线于一点，该点即为m点。连接s点和n点并延长，交直线bc于点2；由于点2在底面ABC上，故可直接求出其正面投影点2。（4）连接s和2，则N点的正面投影一定在s2上。因此，过n点作垂线交s2于一点，该点即为n点。作图步骤参见图3-8（b）：三、平面立体表面上点和三、平面立体表面上点和线的投影的投影图3-8 利用“辅助线法”求立体表面上点的投影(b)做图方法第第 二二 节节曲曲 面面 立立 体体 的的 投投 影影 表面由平面和曲面，或均由曲面围成的立体称为曲面立体。圆柱、圆锥和球是工程中常见的曲面立体，这些曲面立体多为回转体。回转体的曲面可以看作是由一条直线或曲线（母线）绕另一固定直线（轴线）旋转而成的曲面，如图3-9所示。导 言（a）圆柱体（b）圆锥体（c）球图3-9 曲同立体 其中，母线上任一点的运动轨迹都是垂直于轴线的圆，称为纬圆；处于曲面上任意位置的母线称为素线；回转面的可见部分与不可见部分的分界素线称为转向轮廓线。画回转体的投影就是画回转面的转向轮廓线的投影、底面的投影和轴线的投影。导 言一、一、圆柱柱 圆柱是由圆柱面和上、下两个圆形底面围成的，其圆柱面可以看作是由母线绕与其平行的轴线旋转而成的。圆柱面上任意一条平行于轴线的直线称为素线。（一）投影分析 将圆柱体的轴线垂直于H面放置在三投影面体系中，如图3-10所示，其三面投影图的投影特性如下。一、一、圆柱柱H面投影：反映上、下底面实形的圆。此时，圆柱体的侧面投影积聚在圆周上。W面投影：为一个矩形。其中，上、下两边线分别是圆柱上、下底面的积聚投影，左、右两边线分别是圆柱最后、最前处素线的投影。V面投影：为一个矩形。其中，上、下两边线分别是圆柱上、下底面的积聚投影，左、右两边线分别是圆柱最左、最右处素线的投影。一、一、圆柱柱 通过上述分析可总结出圆柱的投影特性为：反映底面实形的投影为圆；另两面投影均为矩形。由图3-10所示投影图可以看出，圆柱的投影特征与柱体的投影特征相同，均为“矩矩为柱”。一、一、圆柱柱图3-10 圆柱的三面投影一、一、圆柱柱画出圆柱体的对称中心线、底面基线及45辅助线，然后画出反映底面实形的H面投影，结果如图3-11（a）所示。根据圆柱体的高和投影关系画出圆柱的V面和W面投影，最后加深图线，如图3-11（b）和（c）所示。(1)(2)（二）作图步骤（二）作图步骤一、一、圆柱柱（a）（b）（c）图3-11 圆柱投影图的作图步骤二、二、圆锥 圆锥是由圆锥面和圆底面所围成的回转体。其中，圆锥面是由母线绕与其相交并且成一定角度的轴线回转而成的。母线与轴线的交点称为锥顶。圆锥面的所有素线都交于锥顶，并且对底面的倾角相等。母线上任意一点的运动轨迹形成的圆称为纬圆。（一）投影分析 将圆锥的轴线垂直于H面放置在三投影面体系中，如图3-12所示，其三面投影特性如下。图3-12 圆锥的三面投影二、二、圆锥通过上述分析可总结出圆锥的投影特性为：反映底面实形的投影为圆；另外两面投影均为等腰三角形，符合“三三为锥”的投影特征。H面投影为一水平圆，反映圆锥底面的实形，同时也是圆锥面的投影。V面和W面投影均为等腰三角形，且三角形的底边为圆锥底面的积聚投影。V面投影中，三角形的左、右两边分别是圆锥面最左、最右素线（素线也是转向轮廓线）的投影；W面投影中，三角形的左、右两边分别是