2021年高考真题——数学（文）（全国乙卷）高考】

高考资源网（） 您身边的高考专家 绝密★启用前 2021年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项: 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的最小正周期和最大值分别是（ ） A. 和 B. 和2 C. 和 D. 和2 5. 若满足约束条件则的最小值为（ ） A. 18 B. 10 C. 6 D. 4 6. （ ） A. B. C. D. 7. 在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 下列函数中最小值为4的是（ ） A. B. C. D. 9. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 11. 设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 2 12. 设，若为函数的极大值点，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知向量，若，则_________． 14. 双曲线的右焦点到直线的距离为________． 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________． 16. 以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）． 三、解答题．共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17. 某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和． （1）求，，，； （2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）． 18. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且． （1）证明：平面平面； （2）若，求四棱锥的体积． 19. 设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）记和分别为和的前n项和．证明：． 20. 已知抛物线的焦点F到准线的距离为2． （1）求C的方程; （2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值. 21. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标． （二）选考题:共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做．则按所做的第一题计分． [选修4-4:坐标系与参数方程] 22. 在直角坐标系中，的圆心为，半径为1． （1）写出的一个参数方程; （2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程． [选修4—5:不等式选讲] 23. 已知函数． （1）当时，求不等式解集; （2）若，求a的取值范围． 2021年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 答案解析 一、选择题: 1. A 解析： 由题意可得：，则. 故选A. 2. C 解析： 由题意可得：. 故选C. 3. A 解析： 由于，所以命题为真命题； 由于，所以，所以命题为真命题； 所以为真命题，、、为假命题. 故选A． 4. C 解析： 由题，，所以的最小正周期为，最大值为. 故选C． 5. C 解析： 由题意，作出可行域，如图阴影部分所示， 由可得点, 转换目标函数为， 上下平移直线，数形结合可得当直线过点时,取最小值， 此时. 故选C. 6. D 解析： 由题意， . 故选D. 7. B 解析： 设“区间随机取1个数” ， “取到的数小于”，所以． 故选：B． 8. C 解析： 对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意； 对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意； 对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意； 对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意． 故选C． 9. B 解析： 由题意可得， 对于A，不是奇函数； 对于B，是奇函数； 对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 故选B 10. D 解析： 如图，连接，因为∥， 所以或其补角为直线与所成的角， 因为平面，所以，又，， 所以平面，所以， 设正方体棱长为2，则， ，所以. 故选D 11. A 解析： 设点，因为，，所以 ， 而，所以当时，的最大值为． 故选A． 12. D 解析： 若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故. 依题意，为函数的极大值点， 当时，由，，画出的图象如下图所示： 由图可知，，故. 当时，由时，，画出的图象如下图所示： 由图可知，，故. 综上所述，成立. 故选D 二、填空题： 13. 答案： 解析： 由题意结合向量平行的充分必要条件可得：， 解方程可得：. 故答案为. 14. 答案： 解析： 由已知，，所以双曲线的右焦点为， 所以右焦点到直线距离为. 故答案为 15. 答案： 解析： 由题意，， 所以， 所以，解得（负值舍去）. 故答案为. 16.③④ 解析： 选择侧视图为③，俯视图为④， 如图所示，长方体中，， 分别为棱的中点， 则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥. 故答案为：③④. 三、解答题． （一）必考题： 17. 答案：（1）；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备没有显著提高. 解析： （1）， ， ， . （2）依题意，，， ，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备没有显著提高. 18. 答案：（1）证明见解析；（2）． 解析： （1）因为底面，平面，所以，又，，所以平面，而平面，所以平面平面． （2）由（1）可知，平面，所以，从而，设，，则，即，解得，所以．因为底面，故四棱锥的体积为． 19. 答案：（1），；（2）证明见解析. 解析： 因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列， 所以，所以， 即，解得，所以， 所以. （2）证明：由（1）可得， ，① ，② ①②得 ， 所以， 所以， 所以. 20. 答案：（1）；（2）最大值为. 解析： （1）抛物线的焦点，准线方程为， 由题意，该抛物线焦点到准线的距离为， 所以该抛物线的方程为； （2）设，则， 所以， 由在抛物线上可得，即， 所以直线斜率， 当时，； 当时，， 当时，因为， 此时，当且仅当，即时，等号成立； 当时，； 综上，直线的斜率的最大值为. 21. 答案：(1)答案见解析；(2). 解析： (1)由函数的解析式可得：， 导函数的判别式， 当时，在R上单调递增， 当时，的解为：， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增； 综上可得：当时，在R上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. (2)由题意可得：，， 则切线方程为：， 切线过坐标原点，则：, 整理可得：，即：， 解得：，则， 即曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为. （二）选考题: [选修4-4:坐标系与参数方程] 22. 答案：（1），（为参数）；（2）或. 解析： （1）由题意，的普通方程为， 所以的参数方程为，（为参数） （2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为，即， 由圆心到直线的距离等于1可得， 解得，所以切线方程为或， 将，代入化简得 或 [选修4—5:不等式选讲] 23. 答案：（1）.（2）. 解析： （1）当时，，表示数轴上的点到和的距离之和， 则表示数轴上的点到和的距离之和不小于，故或， 所以的解集为. （2）依题意，即恒成立， ，故， 所以或， 解得. 所以的取值范围是. - 18 - 版权所有@高考资源网