2005年全国硕士研究生考试数学(一)真题解析
10页1、2005年数学(一)真题解析一、填空题(1)【答案】1 1y = j?-2 4【解】【解】由 lim j-* 00 JC得曲线夕工2 1!旦工(2工+1)=可,x2 x _2工 + 1 - 丿二的斜渐近线方程为=lim工一8. 工!史 2(2工 + 1)丄 一才.丄limx 2=2工 + 1xn x x(2)【答案】夕= -【解】【解】方法一2将 xyf + 2j/ = jt In jr 化为 3/-y = In x 9 解得JCIn 工 e*山 + Ce伽2 In dr + C_ 存3 +c), ,由夕方法二诗,得c=o,故汁警耆.由 xy + 2j = j: In j?,得工5 + 2xy = jc 2 In x,即(工彳歹)=x- r 3 1jr2 In jc djr + C = In x x3 + C ,22夕=于是歹X 33X+c),由 y(l)=得c=o,故2In x 9解得xn x x3 ?(3)【答案】由狂【解】【解】3uXduy0U _N3x 3, ,dy6, ,az9 111(1,2,3)3,(1,2,3)3, ,3z(1,2,3) 3,得du3n(1,2,3)4x
2、丄+丄X丄+丄 丄=遁箱 3 V3 3 73 3(4)【答案】(2-V2)ttR3.【解】【解】方法一由, , z0 2,2 R2,_侍工+$ =z = JR2 jc2 y2 9D 2令D:2+jz2 由高斯公式得jTjr dydz ydzdx -zdx dy = sjjdv = sjjdjr dy 工 Q DVR2-x2-y2t_ dz2005年全国硕士研究生考试数学(一)真题第 1 页,共 10 页=3 f d(9 r ( JR2 r2 厂)d厂=6兀 F厂一 / dr 兀尺 Jo Jo Jo=3兀 F VR2-r2d(R2 /)理=(2-V2)kK3.Jo V2方法二 由高斯公式得JJjc dj/d ydzdx + n dr dyn=3J 0 J 0 J 0r2sin 9)d厂=6tcfsin0严 2( (pd( (p r2 drJ o=2nR3 (1 一 乡)=(2 - 2 )nR3.(5)【答案】2.【解】【解】方法一因为 B (a i + a2 + a3,a i + 2a2 + 4a3 .a j + 3a2 + 9a:3)/I 1=A 1 23 ,1 4J111所以 | B
3、 | = | A | 123= (3 1)(3 2)(2 1) =2.14!)2 | ct i + a 2 9 ct 2 9 a 3 | 2|tti9Ct2*ct3| 2.方法二 |B|=|+ a 2 十 a 3, a i + 2a 2 + 4a 3 9 a 】+ 3a 2 + 9a 3 |=1 a i+ a 2 + ct 3 2 + 3ct 3,a 2 + 5a 3 |=la.十 a 2 + a 3 9 a 2 + 3 a 3,2 a 3 | 2 | a 1 + a 2 + a 3 9 a ? + 3 a 3 9 a 3方法点评:本题注意范德蒙德行列式的使用.1 3(6) 【答案】毎48【解】 【解】 令 4 =X =汀(亍=1,2,3,4),B =Y = 2,则 P(A,) =3(,=1,2,3,4),4PCB | AJ =0, P(B | A2) =-,卩(_8|比)=+,P(B | A4) =,乙 J 4由全概率公式得 PY = 2-P(B) = 2p(Ai)F(B 丨 A,) =( + + ,= 42 3 4,48二、选择题(7) 【答案】(C).【解】 【解】 当& IW
4、1时,1 w 71+ I3n i时,&13 BA* O(13) 答案】(B).【解】 P X = 0 = 0.4+a,PX+Y = l=PX=0,Y = l+PX=l,Y = 0=a+b,P X = 0 ,X + Y = 1 P X = 0, Y = 1 =a,因为x= 0与X+Y= 1相互独立,所以(a+b)(0.4 + a) = a,又因为a+b= 0.5, 所以 a = 0.4,6= 0.1,应选(E).(14) 【答案】(D).【解】 由X】N(0,l),得Xf/ (I).n n由X,N(0,l)G = 2,3,“皿),得工X:2(九1)且X与工X:独立,:=2 i=2由F分布的定义得 兰凶-F(l,-1),即Xi尸(1皿1),应选(D).1) fxii=2 i=2方法点评:设总体XN(y2) ),Xj ,X2,-,X为来自总体X的简单随机样本,熟练掌 握如下结论:(1)匸上N (0,1); (2)匸上/(” 一 1);O O(3) -岁- X 2(72 1 ) ; (4) 2 (Xi )2 X 2(Z2 )O 1 = 1三、解答题(15)解】 如图所示,令Di = (工,夕)
5、|工?+j/ z arctan x 0=工arctan x-ln(l+/),Z 2故/(乂 ) =-7 + 2工 arctan x ln( 1 + j; 2 )1 +工方法二由lim pL =1得级数的收敛半径为R =1,级数的收敛区间为(一1,1). f8 | a ISQ) = Y(1)T 1 +而 ( 1)一匚2” =1又n = 1(- 1)Tn 1n l 一=(一 1)一1工2”n = 12 2X _ X1一(一小1+工八1 2”n (2n 1)_00 2n+ 2(1)”T 2和鳥二 1)arctan x 9(-IL八-i血Jo ” = 1故fG )+ 2jc arctan jc ln( 1 + jr2 ).皿= djr = ln( + g 2), 0 1 + z L1 + jr2005年全国硕士研究生考试数学(一)真题第 6 页,共 10 页(17)【解】 【解】 由已知条件得 /(0) =0,/(3) =2,/(0) =2,/(3) =-2,/(3) =0. 由分部积分得(;+Z (攵)dz = f(7 2 + 工)甘(工)J o Jo=(jr2 + j? )/,z(j: )
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