2005年全国硕士研究生考试数学（一）真题解析
2005年数学（一）真题解析一、填空题（1）【答案】1 1y = j?-2 4【解】【解】由 lim j-* 00 JC得曲线夕工2 1!旦工（2工+1）=可，x2 x _2工 + 1 - 丿二的斜渐近线方程为=lim工一8. 工!史 2(2工 + 1)丄 一才.丄limx 2=2工 + 1xn x x(2)【答案】夕= -【解】【解】方法一2将 xyf + 2j/ = jt In jr 化为 3/-y = In x 9 解得JCIn 工 e*山 + Ce伽2 In dr + C_ 存3 +c)， ，由夕方法二诗，得c=o,故汁警耆.由 xy + 2j = j： In j?,得工5 + 2xy = jc 2 In x，即(工彳歹)=x- r 3 1jr2 In jc djr + C = In x x3 + C ,22夕=于是歹X 33X+c)，由 y(l)=得c=o,故2In x 9解得xn x x3 ?（3）【答案】由狂【解】【解】3uXduy0U _N3x 3， ，dy6， ，az9 111(1,2,3)3，(1,2,3)3， ，3z(1,2,3) 3，得du3n(1,2,3)4x丄+丄X丄+丄 丄=遁箱 3 V3 3 73 3(4)【答案】(2-V2)ttR3.【解】【解】方法一由， ， z0 2,2 R2,_侍工+$ =z = JR2 jc2 y2 9D 2令D：2+jz2 由高斯公式得jTjr dydz ydzdx -zdx dy = sjjdv = sjjdjr dy 工 Q DVR2-x2-y2t_ dz2005年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 1 页，共 10 页=3 f d(9 r ( JR2 r2 厂)d厂=6兀 F厂一 / dr 兀尺 Jo Jo Jo=3兀 F VR2-r2d(R2 /)理=(2-V2)kK3.Jo V2方法二 由高斯公式得JJjc dj/d ydzdx + n dr dyn=3J 0 J 0 J 0r2sin 9)d厂=6tcfsin0严 2( (pd( (p r2 drJ o=2nR3 (1 一 乡)=(2 - 2 )nR3.（5）【答案】2.【解】【解】方法一因为 B (a i + a2 + a3,a i + 2a2 + 4a3 .a j + 3a2 + 9a：3)/I 1=A 1 23 ,1 4J111所以 | B | = | A | 123= (3 1)(3 2)(2 1) =2.14!）2 | ct i + a 2 9 ct 2 9 a 3 | 2|tti9Ct2*ct3| 2.方法二 |B|=|+ a 2 十 a 3, a i + 2a 2 + 4a 3 9 a 】+ 3a 2 + 9a 3 |=1 a i+ a 2 + ct 3 2 + 3ct 3，a 2 + 5a 3 |=la.十 a 2 + a 3 9 a 2 + 3 a 3，2 a 3 | 2 | a 1 + a 2 + a 3 9 a ? + 3 a 3 9 a 3方法点评：本题注意范德蒙德行列式的使用.1 3(6) 【答案】毎48【解】 【解】 令 4 =X =汀(亍=1,2,3,4),B =Y = 2,则 P(A,) =3(，=1,2,3,4),4PCB | AJ =0, P(B | A2) =-,卩(_8|比)=+，P(B | A4) =,乙 J 4由全概率公式得 PY = 2-P(B) = 2p(Ai)F(B 丨 A,) =( + + ,= 42 3 4，48二、选择题(7) 【答案】(C).【解】 【解】 当& IW 1时，1 w 71+ I3n i时，&13 BA* O(13) 答案】(B).【解】 P X = 0 = 0.4+a,PX+Y = l=PX=0,Y = l+PX=l,Y = 0=a+b,P X = 0 ,X + Y = 1 P X = 0, Y = 1 =a,因为x= 0与X+Y= 1相互独立，所以(a+b)(0.4 + a) = a,又因为a+b= 0.5, 所以 a = 0.4,6= 0.1,应选(E).(14) 【答案】(D).【解】 由X】N(0,l),得Xf/ (I).n n由X,N(0,l)G = 2,3,“皿)，得工X：2(九1)且X与工X：独立，:=2 i=2由F分布的定义得 兰凶-F(l,-1),即Xi尸(1皿1),应选(D).1) fxii=2 i=2方法点评：设总体XN(y2) ),Xj ,X2,-,X为来自总体X的简单随机样本，熟练掌 握如下结论：(1)匸上N (0,1); (2)匸上/(” 一 1)；O O(3) -岁- X 2(72 1 ) ； (4) 2 (Xi )2 X 2(Z2 )O 1 = 1三、解答题(15)解】 如图所示，令Di = (工，夕)|工？+j/ z arctan x 0=工arctan x-ln(l+/),Z 2故/(乂 ) =-7 + 2工 arctan x ln( 1 + j; 2 )1 +工方法二由lim pL =1得级数的收敛半径为R =1,级数的收敛区间为（一1,1）. f8 | a ISQ) = Y(1)T 1 +而 ( 1)一匚2” =1又n = 1(- 1)Tn 1n l 一=(一 1)一1工2”n = 12 2X _ X1一(一小1+工八1 2”n (2n 1)_00 2n+ 2(1)”T 2和鳥二 1)arctan x 9(-IL八-i血Jo ” = 1故fG )+ 2jc arctan jc ln( 1 + jr2 ).皿= djr = ln( + g 2), 0 1 + z L1 + jr2005年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 6 页，共 10 页(17)【解】 【解】 由已知条件得 /(0) =0,/(3) =2,/(0) =2,/(3) =-2,/(3) =0. 由分部积分得(；+Z (攵)dz = f(7 2 + 工)甘(工)J o Jo=(jr2 + j? )/，z(j: ) | J (2j? + V)ffjc )dz3 3 3= (2jc + l)d/z(j7) = (2jc +1)/，(j?) + 2 /z (jc )dj?J 0 0 Jo=7 厂(3) (0) +2/(工)山=16 + 2/()J 03=20.0（18） L证明】（I ）令卩（工）=fCx ） 1+ h，爭（0） = 1,（1） = 1.因为卩（0）（1） V 0,所以由零点定理，存在F 6 （0,1）,使得卩0） =0,即/（?） =1-. （n）由微分中值定理，存在7 e（o,c）, e（c,i）,使得丿一g) 一 E J _g i-e故十 5）F（C=1.方法点评：本题考查零点定理与拉格朗日中值定理.设/（工）在a,b上连续，在（a ,6）内可导，若题中只出现则一般需要找出 三个点，两次使用拉格朗日中值定理.本题已知条件出现/（0）=0,/（1）=1连同_/（）=1一, 故三个点为o,ea.申32工 2 +j/4（19）【解】【解】)P(x ,y)=Q( (z )2j72 + J/4(IdQ 2 j/ ( 2jc 2 + j4 )8 j? 2 y 3P _(2_z + 3/)伞(y )4_y3 申(y)3x (2j?2 + )2 (2工2+夕)2设C是任意一条右半平面工0内正向闭曲线，如图所示，在c上 取两点人,将0分为L,L2,再取从点A至点B的有向曲线 使得L?+L3与L2+L3都是绕原点的正向闭曲线，由已知条件 术 爭（y）dz + 2巧七 _ 卩（夕）山 + 2巧（1夕_侍Vq+q 2x2 +y _A Vl2+l3 2x2 +y 两式相减得X 卩（夕）dr +Jc 2j72 + j/4因为对任意右半平面的闭曲线c都赴 m 烛=0,所以曲线积分与路径无关，于是字=算即2亍djc oyy 2x2( (py+ p (y)y44y3o(y),(n)比较工相同次数的系数得竿3 = 一2夕，pf (y)y 4伞(y ) 2y2.由卩(y) = 2，得( (p(y) = y2 + C,代入 y( (pf Cy) 一 4 (3/) 2y2 中得 C = 0,故( (p(y) )y2-2005年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 7 页，共 10 页方法点评：本题考查对坐标的曲线积分、格林公式、曲线积分与路径无关的条件及积分学 与微分方程相结合的应用.曲线积分与路径无关的等价命题有：(1) 曲线积分+Qdy与路径无关；(2) 对区域D内任意的闭曲线C有f Pclz +Qdy =0；(3) 在区域D内岁=罕；ox dy(4) 存在二元函数u (j?,夕)，使得du = Pdx +Qdy本题对任意一条不绕原点的闭曲线的曲线积分为零，则有学=学，从而可得一微分方ox oy程，解出未知函数.(1 a1+a01+a 0 严 i la 0 ,X= g ，则二次型可表示为f=XTAX. 0 2， J 丿(I )因为 r (A ) = 2,所以 | A | = 0,于是 a = 0./! 1 A - 1 - 1 0(U)A = 1 1 0 ,由 | XE-A | =-1 A - 1 0o 0 20 0 A 2= A(A 2)2 =0,得 A 的特征值为入1 =0,入2 =入3 =2.当入1 = 0 时，由(0E -A)X =0,即 AX = 0,得 = (一 l,l,0)T； ；当入2 =心=2 时，由(2E -A)X =0,得乙=(1,1,0)丁，3 = (0,0,1)t,00001，贝lj QtAQ =0 02 00 2一口 t x =于是 f( (i 2=X AX-+ 23.(DI)由 /(工1，22，鼻3)= + x + 27 3 + 1 J7 2 =(工1+工2)2 + 3 =0，得工 1 + JC 2 工 3 = 0,则(C为任意常数).(21)【解】 【解】 由 AB=O,得 r(A)+r(B) W 3,因为A为非零矩阵，所以r(A) $ 1.当 k 9 时，由 r(B) =2 得厂( (A) =1.因为AB =O,所以B的列向量为方程组AX =0的解，于是方程组AX =0的通解为2005年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 8 页，共 10 页3X=CiU + C2(6)(CiG 为任意常数).当 k 9 时，厂(B)=l,则 1 r(A)W2.当r(A) =2时，因为AB =O,所以B的列向量为AX =0的解，于是方程组AX =0的通 解为X=Cj (C为任意常数).当r (A ) =1时，不妨设a工0,由A10b_ac a00，得方程组AX= 0的通(C,C2为任意常数).与n X 5两个矩阵，对AB =O有两种解读：a0h010000000(1) r(A) + r(B) n ； ；(2) 矩阵B的列向量为齐次线性方程组AX =0的一组解.(22)【解】【解】(I )/x(jc)=+oof G，夕)dy ,当 z 0 或工 $1 时，/x (z )=0；当 OVa: VI 时,/x(J； ) = dy =2x ,J 0则X的边缘密度为2工， ， 0 V e V 190, 其他，9)cLr 9当夕0或y $2时，几0) =0;当0 Vy V 2时，几(夕)=Jy_2则Y的边缘密度为fYCy)=0, 其他.(U )Fz(z) = PZ z = P2X -=jj /(J； dy 92xyz当 z VO 时,Fz(z) = 0；当0 z 2时(如图所示)，:吐22x-zdy = 1 0当 z $ 2 时,Fz(z) =1,Fz(z) =1-1y=2xYWzyo2z2(2z z)dx z-;4三( (22)题图几(夕)=70 y V 2,山T 专x72005年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 9 页，共 10 页0,z V 0,2即 Fz (z)=丿 z 7,41,0z2. 0，0z 2,其他.（23）【解】（I ）方法一 Yi =Xi 乂 = Xi 丄=（1 丄）X】一丄X?-丄X”,n - = 1 n n n
