1992年全国硕士研究生考试数学(一)真题(含解析)
9页1、1992年全国硕士研究生招生考试数学(一)(科目代码:301)一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)设函数y y =y(x)=y(x)由方程ef + cosQjy) =0确定,则吕=_.(2)函数 u u =lnQ2 +;/ +才)在点 m(1,2, 2)处的梯度 grad uuM M= =_.(3)设_/&) = 12 则其以加为周期的傅里叶级数在点工=兀处11+工2, 0 0)( ).” =i n(A)发散 (E)条件收敛(C)绝对收敛 (D)收敛性与a有关(3) 在曲线工=/,,= 厂,z =八的所有切线中,与平面z +2y +z = 4平行的切线( ).(A)只有1条 (E)只有2条(C)至少3条 (D)不存在设/(工)=3川+于|工|,则使/(n)(0)存在的最高阶数为( ).(A)0(B)l(02(D)31992年全国硕士研究生考试数学(一)真题第 1 页,共 9 页(5)要使1 j都是线性方程组AX= 0的解,只要系数矩阵A为( ).(A)(-2 1 1) (B)(2 _10 1 1/- 1 0 2 111(C)(D) 4-2-2 0 1 - 1/yo1
2、1 三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求 1曲于_in.二 1.1 -n2(2)设z = /(eJ sin y y + j/2),其中f f具有二阶连续偏导数,求f-.dxdydxdy1 + 乂?,Xe 9(3)设 /(a:)= 3 求”- 工 0, J1*32)clz.四、(本题满分6分)求微分方程+ 2y2yr r iyiy = = e_3j的通解.1992年全国硕士研究生考试数学(一)真题第 2 页,共 9 页五、(本题满分8分)计算曲面积分 I I 3 + az2 )dj/dz + (.y(.y3 3 + aj;2)dzdx + (z3 + ay? )dz dy ,其中 S S 为上S半球面z z = = VaVa2 2 x x2 2 y y2 2的上侧.六、(本题满分7分)设严(工)VOJ(O)=O,证明:对任意的G 0,工2 0,有/(工1+工2)/(鼻1)+/(工2).七、(本题满分8分)2 2 2 在变力F uyzi+zHj +xyk+xyk的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面耳+务+冷=1 a a b b c c上第一卦限的点M(e,v,p,问:当
3、取何值时,力F F所做的功W最大?并求出W的最大值.八、(本题满分7分)设向量组OiOi ,a2线性相关,向量组a? ,5,s线性无关,问:(1) !能否由2,3线性表示?证明你的结论;(2) a4能否由!,2,3线性表示?证明你的结论.1992年全国硕士研究生考试数学(一)真题第 3 页,共 9 页九、(本题满分7分)设3阶矩阵A的特征值为入1 =1,入2 =2,入3 =3,对应的特征向量依次为(1) 将0用线性表示;(2) 求A A 为自然数).十、填空题(本题共2小题,每小题3分,共6分)已知 P(A) =P(B) =P(C) =-,P(AB)=O,P(AC) =P(BC)=岂,则事件 A,B,CA,B,C 全4 12不发生的概率为_.(2)设随机变量X服从参数为1的指数分布,则数学期望E(X + eTx)=_.十一、(本题满分6分)设随机变量X与Y独立,X服从正态分布N(,/),Y服从一兀,兀上的均匀分布,试求Z=XZ=X +Y的概率密度(计算结果用标准正态分布的分布函数(工)表示,其中Q)=1992年全国硕士研究生考试数学(一)真题第 4 页,共 9 页1992年数学(一)真
4、题解析一、填空题(1)【答案】ex+y jysinQy ) x sinQy ) ex+y【 【解解】ex+y + cos(zy ) = 0两边对x求导得于+, (1 + 警)_ sin(zy) (y + 工 警)=0,解得兽x sin(xj/) (2)【答案】2_ _ _生 亍,百,_引【 【解解】 】du。工 x2壬du3y2y du2z2 1 2 2 9十/ 十Nx2 y2 h z2 3nx2 + y2丄 2,du2I 4du 14I f 24 4虹1 M=T3y 1 m 9=-,则 grad uM 9L L*9 92(3)【答案】 y.【 【解解】于(工)的傅里叶级数在工=兀处收敛于f (兀0)+ /(兀 + 0) f 5 o) + y(兀 + o) 7t2 2 = 2 = T*(4) 【答案】夕=(工+C)cos h(C为任意常数).【 【解解】 】 微分方程yf + 3tan r = cos x的通解为y = (Jcos x e3Xdr dr + C) e 皿=(x + C)cos x (C 为任意常数).(5) 【答案】1.【 【解解】 】 方法一 因为A的任意两行都成比例
5、,所以r(A) 1 X 1(2) 【答案】(C).【 【解解】 】 | (-1) (1 - cos 十)| = 2sii?注91992年全国硕士研究生考试数学(一)真题第 5 页,共 9 页OO 2 oo | I oo因为若 y - 收敛,所以若| (-l)n(l-cos-) |收敛,即苕(一1)”(1 cos)绝对收敛 应选(C).(3) 【答案】(B).【 【解解】 】 曲线的切线向量为T= 1, 2t,3/,由 1, 2t,3t 1,2,1 = 0得儿=*,上2 = 1,故与平面z+2y + z = 4平行的切线有2条,应选(B).* e dx = ?丄 o 3 e特征方程为A2 +2A -3 = 0,特征根为心=3,乙=1,yf + 2yf 3y = 0 的通解为 y = C+ C2eT ;令 yr,+ 2yf 3y = e_3j 的特解为 yQ (x ) = ar e_3j,代入得 a =-,故yr,+ 2yf 3y = e-3j的通解为y = Cie-3x +C2eJ (Cl ,C2 为任意常数).五、【 【解解】 】 补充= 0(x2 + y2 Wa),取下侧,jj (j
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