1992年全国硕士研究生考试数学（一）真题（含解析）

1992年全国硕士研究生招生考试数学(一)(科目代码：301)一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1)设函数y y =y(x)=y(x)由方程ef + cosQjy) =0确定，则吕=_.(2)函数 u u =lnQ2 +；/ +才)在点 m(1,2, 2)处的梯度 grad uuM M= =_.(3)设_/&) = 12 则其以加为周期的傅里叶级数在点工=兀处11+工2, 0 0)( ).” =i n(A)发散 (E)条件收敛(C)绝对收敛 (D)收敛性与a有关(3) 在曲线工=/,，= 厂，z =八的所有切线中，与平面z +2y +z = 4平行的切线( ).(A)只有1条 (E)只有2条(C)至少3条 (D)不存在设/(工)=3川+于|工|，则使/(n)(0)存在的最高阶数为( ).(A)0(B)l(02(D)31992年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 1 页，共 9 页（5）要使1 j都是线性方程组AX= 0的解，只要系数矩阵A为（ ）.(A)(-2 1 1) (B)(2 _10 1 1/- 1 0 2 111(C)(D) 4-2-2 0 1 - 1/yo11 三、（本题共3小题，每小题5分，满分15分）（1）求 1曲于_in.二 1.1 -n2（2）设z = /（eJ sin y y + j/2）,其中f f具有二阶连续偏导数，求f-.dxdydxdy1 + 乂？,Xe 9(3)设 /(a：)= 3 求”- 工 0, J1*32)clz.四、（本题满分6分）求微分方程+ 2y2yr r iyiy = = e_3j的通解.1992年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 2 页，共 9 页五、(本题满分8分)计算曲面积分 I I 3 + az2 )dj/dz + (.y(.y3 3 + aj;2)dzdx + (z3 + ay? )dz dy ,其中 S S 为上S半球面z z = = VaVa2 2 x x2 2 y y2 2的上侧.六、（本题满分7分）设严（工）VOJ（O）=O,证明：对任意的G 0,工2 0,有/（工1+工2）/（鼻1）+/（工2）.七、（本题满分8分）2 2 2 在变力F uyzi+zHj +xyk+xyk的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面耳+务+冷=1 a a b b c c上第一卦限的点M（e,v,p,问：当 取何值时，力F F所做的功W最大？并求出W的最大值.八、（本题满分7分）设向量组OiOi ,a2线性相关，向量组a? ,5，s线性无关，问:（1） !能否由2,3线性表示？证明你的结论；（2） a4能否由!，2,3线性表示？证明你的结论.1992年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 3 页，共 9 页九、(本题满分7分)设3阶矩阵A的特征值为入1 =1,入2 =2,入3 =3,对应的特征向量依次为(1) 将0用线性表示;(2) 求A A 为自然数).十、填空题(本题共2小题，每小题3分，共6分)已知 P(A) =P(B) =P(C) =-,P(AB)=O,P(AC) =P(BC)=岂,则事件 A,B,CA,B,C 全4 12不发生的概率为_.(2)设随机变量X服从参数为1的指数分布，则数学期望E(X + eTx)=_.十一、(本题满分6分)设随机变量X与Y独立，X服从正态分布N(，/),Y服从一兀，兀上的均匀分布，试求Z=XZ=X +Y的概率密度(计算结果用标准正态分布的分布函数(工)表示，其中Q)=1992年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 4 页，共 9 页1992年数学（一）真题解析一、填空题（1）【答案】ex+y jysinQy ） x sinQy ） ex+y【 【解解】ex+y + cos（zy ） = 0两边对x求导得于+， （1 + 警）_ sin（zy） （y + 工 警）=0,解得兽x sin（xj/） （2）【答案】2_ _ _生 亍，百，_引【 【解解】 】du。工 x2壬du3y2y du2z2 1 2 2 9十/ 十Nx2 y2 h z2 3nx2 + y2丄 2，du2I 4du 14I f 24 4虹1 M=T3y 1 m 9=-，则 grad uM 9L L*9 92（3）【答案】 y.【 【解解】于（工）的傅里叶级数在工=兀处收敛于f （兀0）+ /（兀 + 0） f 5 o） + y（兀 + o） 7t2 2 = 2 = T*（4） 【答案】夕=（工+C）cos h（C为任意常数）.【 【解解】 】 微分方程yf + 3tan r = cos x的通解为y = （Jcos x e3Xdr dr + C） e 皿=（x + C）cos x （C 为任意常数）.（5） 【答案】1.【 【解解】 】 方法一 因为A的任意两行都成比例，所以r（A） 1 X 1（2） 【答案】（C）.【 【解解】 】 | （-1） （1 - cos 十）| = 2sii?注91992年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 5 页，共 9 页OO 2 oo | I oo因为若 y - 收敛,所以若| (-l)n(l-cos-) |收敛，即苕(一1)”(1 cos)绝对收敛 应选(C).(3) 【答案】(B).【 【解解】 】 曲线的切线向量为T= 1, 2t,3/,由 1, 2t,3t 1,2,1 = 0得儿=*，上2 = 1，故与平面z+2y + z = 4平行的切线有2条，应选(B).* e dx = ?丄 o 3 e特征方程为A2 +2A -3 = 0,特征根为心=3,乙=1，yf + 2yf 3y = 0 的通解为 y = C+ C2eT ;令 yr，+ 2yf 3y = e_3j 的特解为 yQ (x ) = ar e_3j，代入得 a =-,故yr，+ 2yf 3y = e-3j的通解为y = Cie-3x +C2eJ (Cl ,C2 为任意常数).五、【 【解解】 】 补充= 0(x2 + y2 Wa),取下侧，jj (j;3 az2 )dydz + (y3 + ax2 )dzdjr + (z3 + ay2 )cLr dy(4) 【答案】(C).I2j:3 , zVO, 6x2. 工0,(12x ,工 V 0,显然 (0) = = 0, fx ) = 】24工,工0,(0) = lim f(王? = 12, /+(0) lim 彳 24,_。一 工 一。+ 工因为/*(0)丰/：(0),所以/(n(0)存在的最高阶数n = 2,应选(C).(5) 【答案】(A).【 【解解】 】 因为鼻与5线性无关，所以三元齐次线性方程组AX = 0的基础解系中至少含2个解向量，即3-r(A) 2,得r(A) W 1,而选项(B)(C)(D)中矩阵的秩都大于1,所以均不对，只有选项(A)正确.、_ _ 丄 1(1)【 【解解】 】 由 1 / 工 2 = (1 J；2 ) 2 1X 2(X 0),得eJ sin jc 1 ex sin xlim. = lim-Z 1 - J_ f L。 J_r2 21 . e cos 工=lim-x-0 X= lim(eJ + sin x ) = 1.x-* 0(2)【 【解解】 】d2 Zdj：3y四四、 、【 【解解】 】M = f； e= sin y + 2x f2 , eJ sin y (光 eJ cos y + 2,yf2)+ f ex cos y + 2x(/ti ex cos y + 2兀)sin 2y fn + 2eJ (ysin y + z cos yf2 + f eJ cos y + 4巧总.(3)【 【解解】 】/(x 2) dr =3 ff (j; 2)d(jc 2) = j/(j?)dx(1 + x2 ) d +1992年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 6 页，共 9 页工+工 工az2 )dydz + (y3 + ax2 )dz Ajc + ( n 3 + ay2 ) da: dy , (3 az2) dydz + (j/3 + ax2 )dz djr + (z3 + ay2 ) d j?(x2 + y2 + z2 )dv = 3 dJ2 ro0 5“ =6tt 55JJ(h 3 az2 )dydz + (y3 -ax2 Azdx + (n3 ay2 Ajc AyJJ r/dzdy = -|2+/(j:2 + y2 )dj?dy2+2=IJaj/2 dj： dj/ = 一a故（z3 + az2 ）dj/d + （y3 ax2 ）dzda: + Cz3 ay2 dy =竺a5 + -7-a5 = 7ra5. JJ 5 4 20s六、 【 【解解】 】 不妨设0 V , V工2，由拉格朗日中值定理得/（xi ） = /（x 1） /（0）=尸（1 ）工 1 ,其中 0 V & Vg， +工2）于（工2）= F侯2）工 其中工2 f 2 V工1 +工2 因为厂（工）V0,所以/（）单调递减，又因为e2,所以厂（）/（5）， 即 /（ 1） f工 + 工2）一/（工2），故 f工 +无2）V /（JC 1 ） + 才（工2）七、 【 【解解】 】 直线段OM-X = & ,歹=护，N = “，t从0到1 ,功W为W = yzAjc zx dy xy Az = | 3r）t2 At = gr）gJ OM JO下面求W = 昭 在条件鸟+ +匚=1（ MO,” M0，r 2 0）下的最大值.a b c/ ez令F（g诃，丫 ,入）=gr）g +入U 尹务3F0,2A3F由打dF开dF0,0,0,得V匸2 2 c* 2 匸2 2 尸 2 -I从而异= =尹即得尹= = 7=r于是得由问题的实际意义知W_ =abc.八、【证明】（1）因为a2,a3,a4线性无关，所以a2,a3线性无关， 又因为a ,a2,a3线性相关，所以a可由a2 ,a3线性表示.（2）a4不可由i ,a2 ,a3线性表示，若a。可由ax ,a2 ,a3线性表示，因为5可由a2 ,a3线性表示,1992年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 7 页，共 9 页1111工2攵3Z 1 1 + 无 2 2讨;3/ 0 31所以a4可由a2,a3线性表示，从而业，5，叫 线性相关，矛盾，所以5不可由九、【 【解解】（1）设,a2 ,a3线性表示.Qi+ 春 3 =( (5,2,3) )对此方程组的增广矩阵作初等行变换11!卩)=I 12321204得唯一解（2, 2,1）丁，故有0 = 2】一2饥（2）由于,故A P =么9 :+ 3 82/ 、0011十、填空题（1）【答案月5辽.由 ABC U AB 且 P(AB) = 0 得 P(ABC) = 0,则【 【解解】 】PCABC) = PCA+B+C) = 1-PCA+B+C)=1 -P(A) -P(B) -P(C) + P(AE) + P(AC) +P(BC) P(ABC)=1-# + + =寻4（2）【答案】 y.【解】 随机变量X的概率密度为心）=ex ,工工0,则 E（X +x）f+8 =J,= (z + e2x ) e_J dx = I x e-J dx + J o v o 0, 工 0,+OO e3x dz o14- = 十3 3 -2） + *十一、【解】随机变量X的概率密度为+8e3x d(3rr )=o呼,00 V z + 00随机变量Y的概率密度为几。）=1石7T VV兀9其他 因为随机变量X,Y相互独立，所以（X,Y）的联合密度函数为0,/(Z,y) = =1-e2tt丿2兀er（工-）22?00 V H V+ 00 , 7t V y V 7T ,lo,其他.1992年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 8 页，共 9 页Fz(z) = PX + Yz = II工+yW： ： 一 e 一 (工-) )22o2i仔】 1=殆L刃-8伍,x 一 p.a2jc，_ dyf (x山=U d厂乙 7t J K J 8Zy -1-eF沽 d3 /27X fJL-剳n