旋转曲面的面积最新课件

1、旋转曲面的面积最新,4 旋转曲面的面积,定积分的所有应用问题，一般总可按“分割，近似,求和，取极限”三个步骤导出所求量的积分形式.但为简,便实用起见，也常采用下面介绍的“微元法”. 本节将采,用此法来处理.,首页,旋转曲面的面积最新,一、微元法,为了介绍微元法，我们首先回顾一下在讲定积分定义,时引入的例子求曲边梯形的面积问题.,设 f 为闭区间a，b上的连续函数，且 f（x）0.,由曲线 y=f (x),直线x=a, x=b,称为曲边梯形.,首页,以及 x 轴所围成的平面图形,旋转曲面的面积最新,下面讨论曲边梯形的面积.,作法：,（）分割,这些点把a,b分割成n个小区间x,xi,i=1,2, n.再用直线x= xi,i=1,2,，n-1,把曲边梯形分割成n个小曲边梯形.,在区间 a, b 内任取n-1个分点，它们,首页,旋转曲面的面积最新,（ii）近似求和,当分割a,b的点分点较多,又分割,首页,得较细密时,由于f为连续函数,它在每个小,区间上的值变化不大,从而可用这些小矩形的面积近似,替代相应小曲边梯形的面积.,和就可作为该曲边梯形面积S的近似值,即,在每个小区间xi-1,xi上任取

2、一点,作以f( )为高，xi-1,xi为底的小矩形.,于是, n 个小矩形面积之,旋转曲面的面积最新,注意到(1)式右边的和式既依赖于对区间a, b,有关.可以想象,当分点无限增多,且对a, b无限细,分时,如果此和式与某一常数无限接近,且与分点xi,形的面积S.,的分割,又与所有中间点 ( i=1,2,，n）的取法,中间 点的选取无关,则就把此常数定义作为曲边梯,首页,（iii）取极限,旋转曲面的面积最新,引入问题：上述过程显然是比较繁琐的，那么遇到一个,实际问题如何直接利用定积分表示呢？,我们看出，在引出的积分表达式的步骤中，关键是,第二步. 这一步是确定的近似值. 完成了这一步，再求和,取极限，从而求得的精确值. 在实际应用中, 为简便起见,省略下标i，用表示a，b上任一小区间x，x+x上的,窄曲边梯形的面积:,= ,首页,旋转曲面的面积最新,取任一小区间x，x+x上的左端点为，这样,的近似值为以点x处的函数值 f (x)为高,x为底的矩形面, f (x)x = f (x)dx.,积，即,由于当x趋于零时, - f(x)x = o(x ),根据微分,定义知， dA=f(x)dx.

3、于是,取极限, 得：,= f（x）dx,首页,旋转曲面的面积最新,一般地，我们归纳出所求量的积分表达式的步骤.,(1) 选取积分变量及变化区间；,(2) 设想把区间a,b分成n个小区间,取其中任一小,区间并记作x, x+x，求出相应于此小区间的,部分量的近似值f（x）dx；,首页,(3) 以f（x）dx作为被积表达式，得到所求量,的积分表达式:,旋转曲面的面积最新,用上述步骤来建立积分表达式的方法通常称为微元法,（或元素法）,其中f(x)dx为所求量的元素.,在实际问题中，若所求量为面积，则称f(x)dx,为面积元素,所求量为功，则称f（x）dx为功元素.,显然，微元法要比按“分割，近似求和，取极限”三,个步骤导出定积分简便得多，那么一个实际问题的所求量,满足什么条件才可以考虑用微元法求解呢？,首页,旋转曲面的面积最新,（1） 所求量关于分布区间必须是代数可加的，即若把区间,a,b分成许多部分区间，则所求量也相应地分成许多,可以用微元法的条件：,（2） 能把的微小增量 近似地表示为x的线性形式, f(x)x，,且当x 趋于零时,f(x)x =o(x).,从而f(x)dx.,首页,旋转曲

4、面的面积最新,首页,对于前三节所求的平面图形面积、立体体积和曲线,弧长，改用微元法来处理，所求量的微元表达式分别为:,A x，并有dA= dx；,A（x）x，并有dV= A（x）dx；,s x，并有ds= dx.,旋转曲面的面积最新,二、旋转曲面的面积,这一部分我们要利用微元法推导旋转曲面的面积公式.,（不妨设 f(x)0）这段曲线绕x轴旋转一周得到旋转曲面.,首页,设平面光滑曲线C的方程为,旋转曲面的面积最新,下面用微元法导出它的面积公式.,（1） 积分变量x, 变化区间a,b;,（2） 任取a, b上小区间x, x+x,通过x轴上点x与x+x,分别作垂直于x轴的平面,它们在旋转曲面上截下一条狭,带.当x很小时,此狭带的面积近似于一圆台的侧面积，,其中，y=f(x+x)-f(x).,s,=,首页,即，,旋转曲面的面积最新,所以得到，,首页,由于,以及 连续，可以保证：,（3） 以 为被积表达式，,得旋转曲面的面积公式,旋转曲面的面积最新,事实上，由（）知，,=,=,=,=,=,首页,且 y(t)0，那么由弧微分知识推知曲线C绕 x 轴旋转所得,旋转曲面的面积为,(4),旋转曲面的面积最新,弧段绕 x 轴旋转所得球带的面积.,得到,特别当x1=-R, x2=R 时，得球的表面积 S球= 4R.,解 对曲线 y = 在区间x1, x2上应用公式(3)，,=,首页,例1 计算圆 在 上的,旋转曲面的面积最新,所得旋转曲面的面积.,解 由曲线关于y轴的对称性及公式(4)，得,例2 计算由内摆线 绕 x 轴旋转,S=4,=12,首页,旋转曲面的面积最新,

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